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LIVRET MATHS



5
Géométrie des cercles et des angles





Point de cours 1
Angles alternes internes, supplémentaires et complémentaires

Définition

Les angles de la même couleur sont alternes internes.

Propriété

Deux droites parallèles forment des angles alternes internes égaux.

Définition

Deux angles dont la somme vaut :
  • 90 ° sont complémentaires ;
  • 180 ° sont supplémentaires (deux angles de couleurs différentes sur l’illustration).

Angles alternes internes, supplémentaires et complémentaires


Remarque 1
Les trois angles d’un triangle sont supplémentaires.

Remarque 2
Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

1
Calcul d’angle.

ABCD\text{ABCD} est un trapèze rectangle.
Calculez l’angle ACB^.\widehat{\mathrm{ACB}}.

Calcul d’angle

2
Calcul d’angle.

Les droites (BD)\text{(BD)} et (CD)\text{(CD)} sont tangentes au cercle. Calculez la mesure des angles ABC^\widehat{\mathrm{ABC}} et BAC.\overline{\mathrm{BAC}}.

Calcul d’angle

3
Calcul d’angle.

Calculez la mesure de l’angle E^.\hat{E}.

 Calcul d’angle.

4
Calcul d’angle.

[BD][\mathrm{BD}] et [CA][\mathrm{CA}] sont deux diamètres du cercle. La droite (ED)(\mathrm{ED}) est tangente au cercle. Calculez la mesure de l’angle E^.\hat{E}.

Calcul d’angle.


Point de cours 2
Longueur d’un arc de cercle - degrés - radians

Propriété

Dans un cercle de rayon RR, la longueur LL d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle α\alpha (en degrés) qu’il intercepte : L=α×π180×R.L=\alpha \times \dfrac{\pi}{180} \times R.

Définition

On peut exprimer l’angle en radians : αrad=αdeg×π180.\alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\mathrm{deg}} \times \dfrac{\pi}{180}.

Remarque
On a L=αrad×R.L=\alpha_{\text{rad}} \times R.

5
Calcul d’une longueur d’arc.

Calculez la longueur de l’arc joignant B\text{B} à C.\text{C.}

Calcul d’une longueur d’arc

6
Tableau de conversions.

On considère un cercle de rayon 10 cm.

a. Complétez le tableau suivant.

Angle en °
35
200
Longueur d’arc en cm
30
15


b. Calculez le coefficient de proportionnalité.


7
Conversion de degrés en radians.

On considère un cercle de rayon 10 cm.
Complétez le tableau suivant.

Angle en °
35
200
Longueur d’arc en cm
π4\dfrac{\pi}{4}
5π6\dfrac{5 \pi}{6}

8
Calcul d’angle.

Calculez une mesure approchée de l’angle BAC^\widehat{\mathrm{BAC}} en degrés puis en radians.

Calcul d’angle

9
Calcul d’une longueur d’arc.

La Terre est assimilée à une sphère de rayon 6 378 km représentée ci-dessous.
Calculez les distances GL\text{GL} et LM.\text{LM.}

Calcul d’une longueur d’arc


Point de cours 3
Formule des sinus (triangulation)

Propriété

Loi des sinus
Dans un triangle  ABC\text{ ABC}, on a la relation :
asin(A^)=bsin(B^)=csin(C^).\dfrac{a}{\sin (\hat{\text{A}})}=\dfrac{b}{\sin (\hat{\text{B}})}=\dfrac{c}{\sin (\hat{\text{C}})}.

Remarque
Cette loi permet de calculer des distances par « triangulation ».

Formule des sinus (triangulation)

10
Calcul d’un sinus à la calculatrice.

En choisissant le bon mode dans la calculatrice, remplissez le tableau suivant.

Angle en °
45
210
Angle en rad
π6 \dfrac{\pi}{6}  π2 \dfrac{\pi}{2}  
0,1
Sinus
0,8

11
Calcul de longueurs.

Calculez AC\text{AC}, BC\text{BC}, puis CH.\text{CH.}


Calcul de longueurs.

12
La loi des sinus.

a. Calculez l’angle C^.\widehat{\mathrm{C}}.


b. Complétez les égalités ci-dessous.

750sin()=sin(65)=sin(50)\dfrac{750}{\sin (\ldots)}=\dfrac{\ldots}{\sin (65)}=\dfrac{\ldots}{\sin (50)}

La loi des sinus.

13
Calcul d’une distance.

Calculez la longueur TS.\text{TS.}


Calcul d’une distance

14
Application de la loi des sinus.

Une montagne empêche de mesurer la distance AB.\text{AB.} Calculez-la à l’aide des relevés de la figure.


Application de la loi
des sinus


Point de cours 4
Loi des sinus dans le triangle rectangle

Propriété

Si le triangle ABC\text{ABC} est rectangle en A\text{A}, alors sin(A^)=sin(90)=1\sin (\hat{\mathrm{A}})=\sin (90)=1 et la loi des sinus s'écrit :
a=bsin(B^)=csin(C^)a=\dfrac{b}{\sin (\hat{\text{B}})}=\dfrac{c}{\sin (\hat{\text{C}})} d'où sin(B^)=ba\sin (\hat{\mathrm{B}})=\dfrac{b}{a} et sin(C^)=ca\sin (\hat{\mathrm{C}})=\dfrac{c}{a} avec aa est l'hypothénuse du triangle ABC.\text{ABC.}
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