Enseignement scientifique 1re

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Thème 1 : Une longue histoire de la matière
Ch. 1
Les éléments chimiques
Ch. 2
Des édifices ordonnés : les cristaux
Ch. 3
Une structure complexe : la cellule
Thème 2 : Le Soleil, notre source d'énergie
Ch. 4
Le rayonnement solaire
Ch. 5
Le bilan radiatif terrestre
Ch. 6
Énergie solaire et photosynthèse
Ch. 7
Le bilan thermique du corps humain
Thème 3 : La Terre, un astre singulier
Ch. 8
La forme de la Terre
Ch. 9
L'histoire de l’âge de la Terre
Ch. 10
La Terre dans l’Univers
Thème 4 : Son et musique, porteurs d'information
Ch. 11
Le son, phénomène vibratoire
Ch. 12
Musique et nombres
Ch. 13
Le son, une information à coder
Ch. 14
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Projet Experimental et Numérique
Annexes
Livret maths 5

Géométrie des cercles et des angles

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Point de cours 1
Angles alternes internes, supplémentaires et complémentaires

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Définition

Les angles de la même couleur sont alternes internes.
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Propriété

Deux droites parallèles forment des angles alternes internes égaux.
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Définition

Deux angles dont la somme vaut :
  • 90 ° sont complémentaires ;
  • 180 ° sont supplémentaires (deux angles de couleurs différentes sur l'illustration).
Angles alternes internes, supplémentaires et complémentaires
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Remarque
  • Les trois angles d'un triangle sont supplémentaires.
  • Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires.
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Exercices

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1
Calcul d'angle.

\text{ABCD} est un trapèze rectangle.
Calculez l'angle \widehat{\mathrm{ACB}}.

Calcul d'angle
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2
Calcul d'angle.

Les droites \text{(BD)} et \text{(CD)} sont tangentes au cercle. Calculez la mesure des angles \widehat{\mathrm{ABC}} et \overline{\mathrm{BAC}}.

Calcul d'angle
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3
Calcul d'angle.

Calculez la mesure de l'angle \hat{E}.

 Calcul d'angle.
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4
Calcul d'angle.

[\mathrm{BD}] et [\mathrm{CA}] sont deux diamètres du cercle. La droite (\mathrm{ED}) est tangente au cercle. Calculez la mesure de l'angle \hat{E}.

Calcul d'angle.
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Point de cours 2
Longueur d'un arc de cercle - degrés - radians

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Propriété

Dans un cercle de rayon R, la longueur L d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle \alpha (en degrés) qu'il intercepte :
L=\alpha \times \dfrac{\pi}{180} \times R.
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Définition

On peut exprimer l'angle en radians :
\alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\mathrm{deg}} \times \dfrac{\pi}{180}.
Remarque
On a L=\alpha_{\text{rad}} \times R.
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Exercices

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5
Calcul d'une longueur d'arc.

Calculez la longueur de l'arc joignant \text{B} à \text{C.}

Calcul d'une longueur d'arc
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6
Tableau de conversions.

On considère un cercle de rayon 10 cm.

a. Complétez le tableau suivant.

Angle en °

35

200

Longueur d'arc en cm

30

15



b. Calculez le coefficient de proportionnalité.

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7
Conversion de degrés en radians.

On considère un cercle de rayon 10 cm.
Complétez le tableau suivant.

Angle en °

35

200

Longueur d'arc en cm

\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{5 \pi}{6}

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8
Calcul d'angle.

Calculez une mesure approchée de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}} en degrés puis en radians.

Calcul d'angle
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9
Calcul d'une longueur d'arc.

La Terre est assimilée à une sphère de rayon 6 378 km représentée ci-dessous.
Calculez les distances \text{GL} et \text{LM.}

Calcul d'une longueur d'arc
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Point de cours 3
Formule des sinus (triangulation)

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Propriété

Loi des sinus
Dans un triangle \text{ ABC}, on a la relation :
\dfrac{a}{\sin (\hat{\text{A}})}=\dfrac{b}{\sin (\hat{\text{B}})}=\dfrac{c}{\sin (\hat{\text{C}})}.

Formule des sinus (triangulation)
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Remarque
Cette loi permet de calculer des distances par « triangulation ».
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Exercices

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10
Calcul d'un sinus à la calculatrice.

En choisissant le bon mode dans la calculatrice, remplissez le tableau suivant.

Angle en °

45

210

Angle en rad

\dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{2}  

0,1

Sinus

0,8

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11
Calcul de longueurs.

Calculez \text{AC}, \text{BC}, puis \text{CH.}

Calcul de longueurs.
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12
La loi des sinus.

a. Calculez l'angle \widehat{\mathrm{C}}.

b. Complétez les égalités ci-dessous.

\dfrac{750}{\sin (\ldots)}=\dfrac{\ldots}{\sin (65)}=\dfrac{\ldots}{\sin (50)}

La loi des sinus.
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13
Calcul d'une distance.

Calculez la longueur \text{TS.}

Calcul d'une distance
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14
Application de la loi des sinus.

Une montagne empêche de mesurer la distance \text{AB.} Calculez-la à l'aide des relevés de la figure.

Application de la loi
des sinus
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Point de cours 4
Loi des sinus dans le triangle rectangle

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Propriété

Si le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{A}, alors \sin (\hat{\mathrm{A}})=\sin (90)=1 et la loi des sinus s'écrit :

a=\dfrac{b}{\sin (\hat{\text{B}})}=\dfrac{c}{\sin (\hat{\text{C}})} d'où \sin (\hat{\mathrm{B}})=\dfrac{b}{a} et \sin (\hat{\mathrm{C}})=\dfrac{c}{a} avec a est l'hypoténuse du triangle \text{ABC.}

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