LIVRET MATHS



1
S’entraîner au calcul





Point de cours 2
Proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre toujours par un même nombre, appelé le coefficient de proportionnalité.

Exemples
Le prix payé à la station service est proportionnel au volume d’essence mis dans le réservoir du véhicule. Le coefficient de proportionnalité est le prix au litre.

18
Résolvez les équations suivantes.

a. 3x+7=132x3 x+7=-13-2 x

b. 3(2x3)=273(2 x-3)=27

c. 6(x3)=3x6(x-3)=3 x

d. 2x9=(5x+7)×(3)2 x-9=(5 x+7) \times(-3)

e. 0,5x2,6=3x+1,40\text{,}5 x-2\text{,}6=3 x+1\text{,}4

f. 8x=(5x3)×(0,2)8 x=(5 x-3) \times(-0\text{,}2)


14
Factorisez les expressions suivantes.

a. 3x+93 x+9

b. 279y27-9 y

c. 12x+18y12 x+18 y

d. 13x+2x13 x+2 x

e. xy+4yx y+4 y

f. x2+3xx^{2}+3 x


6
Si jʼachète 3 places de cinéma, je paie 5 €. Si jʼen achète 10, ça me coûte 15 €, donc :






20
Résolvez les équations suivantes.

a. (x+1)×(x2)=0(x+1) \times(x-2)=0

b. (3x+2)×(4x+5)=0(3 x+2) \times(-4 x+5)=0

c. x22x+1=(x+1)(2x+7)x^{2}-2 x+1=(x+1)(-2 x+7)

d. (3x+2)(4x+5)=0(3 x+2)(-4 x+5)=0

e. (2x+5)2=0(2 x+5)^{2}=0


13
Distance de freinage.

À lʼautoécole, on apprend que « la distance de freinage dd est le centième du carré de la vitesse vv ».
Exprimez cette règle par une formule.


Point de cours 1
Révisions

Propriété

Dans une expression numérique sans parenthèses, on effectue :
  • dʼabord les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
  • puis les additions et les soustractions, également de gauche à droite.

Propriété

Dans une expression numérique qui contient des parenthèses, on effectue :
  • en priorité les calculs entre les parenthèses ;
  • puis on procède comme pour une expression numérique sans parenthèses.

Quand il y a des parenthèses imbriquées, on effectue dʼabord les calculs entre les parenthèses les plus intérieures.

Exemples
A=202×3+12÷6=206+2=14+2=16\text{A} = 20 − 2 × 3 + 12 ÷ 6 = 20 − 6 + 2 = 14 + 2 = 16
B=(3×(73))+1=(3×4)+1=12+1=13\text{B} = (3 × (7 − 3)) + 1 = (3×4) + 1 = 12 + 1 = 13

17
Réduisez les expressions au maximum.

a. (7+a)×(b+1)(7+a) \times(b+1)

b. (3,2x)×(2+x)(3\text{,}2-x) \times(2+x)

c. (y1,5)×(y1)(y-1\text{,}5) \times(y-1)

d. (ab+1)×(a+b)(a b+1) \times(a+b)

e. 1a×(3a)-1-a \times(3-a)

f. (x+4)2(x+4)^{2}

g. (x4)2(x-4)^{2}

h. (x+4)×(x4)(x+4) \times(x-4)

i. (x4)×(x4)(-x-4) \times(-x-4)

j. (44)×(xx)(-4-4) \times(-x-x)

k. (a+b)×(ac)(a+b) \times(a-c)

l. (2×a)×(a+4)(-2 \times a) \times(a+4)

m. (x+2)3(x+2)^{3}

n. (x2)3(x-2)^{3}


5
Complétez les tableaux de proportionnalité suivants.

ES_Livretmath
1
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Point de cours 4
Calcul littéral

Définition

  • Une expression littérale est une expression dans laquelle des lettres représentent des nombres. Ces lettres sont appelées des variables.
  • Deux expressions littérales sont « égales » si elles donnent le même résultat pour n’importe quelles valeurs attribuées aux lettres de l’expression.

Propriété

  • Simple distributivité. Quels que soient les nombres kk, aa et bb, on a toujours : k(a+b)=ka+kb.k(a+b)=k a+k b.
  • Double distributivité. Quels que soient les nombres aa, bb, cc et dd, on a : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.(a+b)(c+d)=a c+a d+b c+b d.

Propriété

Identités remarquables. Pour tous nombres aa et bb, on a :

forme factorisée
 
forme développée
(a+b)2(a+b)^{2}  == a2+2ab+b2a^{2}+2 a b+b^{2} 
(ab)2(a-b)^{2}  == a22ab+b2a^{2}-2 a b+b^{2} 
(a+b)(ab)(a+b)(a-b)  ==  a2b2a^{2}-b^{2} 

Exemples
  • 3x+8=4x(2x)3 x+8=4 x(2-x) est une expression littérale.
    Quels que soient les nombres aa et bb, on a : (ab)2=a22ab+b2.(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}.

  • 4x(2x)=4x×24x×x4x(2x)=8x4x2\begin{array}{l}{4 x(2-x)=4 x \times 2-4 x \times x} \\ {4 x(2-x)=8 x-4 x^{2}}\end{array}

  • 32z(5z4)=32z×5z2z×(4)32z(5z4)=310z2+8z\begin{array}{l}{3-2 z(5 z-4)=3-2 z \times 5 z-2 z \times(-4)} \\ {3-2 z(5 z-4)=3-10 z^{2}+8 z}\end{array}

  • (2x5)(3+4x)=6x+8x21520x(2 x-5)(3+4 x)=6 x+8 x^{2}-15-20 x

  • Soit A=(4+3z)(2z+1)(5+7z)(z+3)\text{A}=(4+3 z)(2 z+1)-(5+7 z)(z+3)
    A=8z+4+6z2+3z(5z+15+7z2+21z)A=z215z11\begin{array}{l}{\text{A}=8 z+4+6 z^{2}+3 z-\left(5 z+15+7 z^{2}+21 z\right)} \\ {\text{A}=z^{2}-15 z-11}\end{array}

  • (3x+7)2=9x2+42x+49(3 x+7)^{2}=9 x^{2}+42 x+49
  • (52y)2=2520y+4y2(5-2 y)^{2}=25-20 y+4 y^{2}
  • (z+3)(z3)=z29(z+3)(z-3)=z^{2}-9

22
Périmètre d’une figure géométrique.

Périmètre d’une figure géométrique


Aude veut former la figure illustrée ci-dessus avec un fil métallique de 96 cm de longueur.
Quelle est la valeur maximale que l’on peut choisir pour xx ?

En sciences, la création de modèles destinés à expliquer notre réalité est toujours allée de pair avec le développement d’outils mathématiques.

Vous trouverez au sein de ce livret maths, tous les outils mathématiques utilisés en classe d’enseignement scientifique.

11
Périmètre d’un cercle.

Le lien entre le diamètre dd et le rayon rr d’un cercle est donné par la formule d=2r.d = 2r.
Pour calculer le périmètre PP, on applique la formule P=2πr.P=2 \pi r. Complétez le tableau suivant.

rr en cm
dd en cm
Valeur arrondie
de PP au millimètre près
5,0
   
8,0
   
4,0
   
7,5
   
2,5
   

16
Éliminez toutes les parenthèses et réduisez les expressions au maximum.

a. 3,5e+2,2e+e×23,5 e+2,2 e+e \times 2

b. c×(3+11)+c+2c \times(3+11)+c+2

c. 1,7(2,4×a2,4)1\text{,}7-(2\text{,}4 \times a-2\text{,}4)

d. (2a+3)×3+8a(2 a+3) \times 3+8 a

e. (x+y)×(z+4)(x+y) \times(z+4)

f. 3(6+a)×203-(-6+a) \times 20

g. (a+1)×(b+1)2(a+1) \times(b+1)-2

h. (a3)×(a+1)4a(a-3) \times(a+1)-4 a



Point de cours 5
Équations à une inconnue

Définition

  • Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut donner à xx pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation.
  • Méthode de résolution : on applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but dʼavoir lʼinconnue dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue. On vérifie que chaque valeur trouvée est bien solution de lʼéquation.

Propriété

Un produit est nul si et seulement si au moins lʼun de ses facteurs est nul.

Exemples
  • 3×2+2=83 \times 2+2=8
    2+6=82+6=8
    Donc avec x=2x = 2, l’égalité 3x+2=x+63x + 2 = x + 6 est vérifiée. 22 est une solution de cette équation.

  • 5x+6=82x5 x+6=8-2 x
    7x+6=87x + 6 = 8
    7x=27x = 2
    x=27x=\dfrac{2}{7}
    Si on remplace xx par cette valeur alors l’égalité de départ est bien vérifiée.

  • (3x8)(x+7)=0(3 x-8)(x+7)=0 est une équation produit nul d’inconnue x.x.
    Soit (3x8)=0(3 x-8)=0 ou (x+7)=0(x+7)=0
    Soit x=83x=\dfrac{8}{3} ou x=7x = -7
    Cette équation admet donc deux solutions :
    83\dfrac{8}{3} et 7.-7.


10
Quel est le prix de 13 pralinés ?



Prix de 13 pralinés

8
Le laiton jaune est un alliage métallique de cuivre et de zinc. Un morceau de 650 g de laiton jaune contient 403 g de cuivre.

a. Quel est le pourcentage de cuivre contenu dans ce morceau de laiton jaune ?

b. Quel est le pourcentage de zinc contenu dans ce morceau de laiton jaune ?


15
Un paquetage.

a. De quelle longueur de ficelle a-t-on besoin pour ficeler le paquet ci-contre de longueur 40 cm, de largeur 30 cm et de hauteur 10 cm, de la façon indiquée, sans compter les nœuds ?

b. Donnez la longueur de la ficelle en fonction des dimensions LL, ll et hh du paquet.


Un paquetage

7
La classe de 2de 4.

La classe de 2de 4 du lycée Duruy est composée de 38 élèves, dont 16 filles.

Quel est le pourcentage de filles en 2de 4 ?


2
Effectuez les calculs suivants.

a. 5+84×35+8-4 \times 3

b. 36÷6+7×636 \div 6+7 \times 6

c. 4+63÷9+24+63 \div 9+2

d. 8111×6÷381-11 \times 6 \div 3

e. 40÷8+8×840 \div 8+8 \times 8

f. 12×6÷8×712 \times 6 \div 8 \times 7

4
Identifiez les grandeurs proportionnelles.

a. La longueur du côté dʼun carré et son périmètre.

b. Le nombre de sommets dʼun polygone et la somme de ses angles.

c. La longueur du côté dʼun carré et son aire.

d. Le nombre de lettres dans un mot et le nombre des voyelles dans le mot.



12
Calculez le volume de ce parallélépipède rectangle pour :

a. z=2z = 2

b. z=8z = 8

c. z=4,5z = 4\text{,}5


Parallélépipède
rectangle

19
Résolvez les équations suivantes.

a. 6x4=3×(2x)6 x-4=3 \times(2-x)

b. 2×π×x=102 \times \pi \times x=10

c. 12=14x+5-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} x+5

d. 0,5x+2=3x80\text{,}5 x+2=3 x-8

e. 2x=3×π2 x=3 \times \pi

f. 13x+23x=5+2x\dfrac{1}{3} x+\dfrac{2}{3} x=5+2 x


Point de cours 3
Représentation de la proportionnalité

Propriété

On peut toujours représenter une situation de proportionnalité à l’aide d’un tableau de proportionnalité.

Exemples
Chez le primeur, 5 kg de pommes coûtent 6 euros. On peut représenter cette situation à l’aide d’un tableau.

Masse (kg)
5
15
Prix (euros)
6 18


Propriété

Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire et, dans un repère, elle est représentée par une droite qui passe par l’origine de ce repère. Le coefficient de proportionnalité correspond alors au coefficient directeur de cette droite.

Définition

Un pourcentage traduit une proportion. C’est une fraction dont le dénominateur vaut 100. Déterminer un pourcentage revient à calculer cette proportion.

Exemples
Dans une classe de 25 élèves il y a 7 filles. Pour déterminer le pourcentage de filles, on peut remplir un tableau de proportionnalité. On trouve 28 % :

Représentation de la proportionnalité

1
Effectuez les calculs suivants.

a. 5×925÷55 \times 9-25 \div 5

b. 7×(6454)7 \times(64-54)

c. 4530÷(83)45-30 \div(8-3)



9
Effectuez les calculs suivants.

Sur une carte dʼéchelle 1200  000\dfrac{1}{200\;000} , la maison dʼAbdel est à 1,25 cm de son collège.

Quelle est la distance réelle entre son collège et sa maison en ligne droite ?

3
Effectuez les calculs suivants.

a. (1+4×8)+2(1+4 \times 8)+2

b. 72÷(16÷2)72 \div(16 \div 2)

c. 7×6+(18÷9)7 \times 6+(18 \div 9)

d. 20(8×420)20-(8 \times 4-20)

e. 35÷7×(4712)35 \div 7 \times(47-12)

f. (15+2)×3+4(15+2) \times 3+4

21
Aires et périmètres.

Aires et périmètres


a. Déterminez la valeur de xx pour laquelle les deux rectangles ont la même aire.

b. Déterminez la valeur de xx pour laquelle les deux rectangles ont le même périmètre.

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