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Enseignement scientifique 1re

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Le coin des experts




B
Un cycle infini ?

Mettre en place un raisonnement mathématique pour prouver que le cycle des quintes est infini

Version initiale (le repaire des initiés, exercice 4) ici
.

Données
  • Une octave correspond à un intervalle de 2.
  • Une quinte correspond à un intervalle de 32\dfrac{3}{2}.
  • Les fréquences des notes successives sont trouvées en faisant le produit des intervalles.

On sait que la gamme pythagoricienne est décalée d’un comma par rapport à l’octave. Existe-t-il une suite de quintes qui permet d’obtenir l’octave ?


Questions

1. Traduisez mathématiquement l’égalité entre la n-ième quinte et la p-ième octave.


2. Sachant qu’une puissance de 3 est forcément impaire, répondre à la problématique de l’énoncé.

9
Tuyau d’orgue (d’après bac S, Antilles/Guyane septembre 2018)

Utiliser la racine douzième de 2 pour partager l'octave en douze intervalles égaux


L’orgue de la cathédrale de Reims
1
L’orgue de la cathédrale de Reims.

Question

Discutez qualitativement l’influence d’une variation de température sur la hauteur du son produit, puis déterminez quantitativement si l’affirmation du musicien sur l’évolution de la hauteur du son est correcte. Un calcul numérique est attendu.


Les orgues les plus imposants peuvent comporter de 2 000 à 4 000 tuyaux sonores. Certains tuyaux, comme ceux appartenant au jeu de « montre », sont ouverts à leurs deux extrémités. L’air est insufflé par une soufflerie au niveau de leur base. Un tuyau d’orgue de longueur LL émet un son de hauteur déterminée qui dépend de la température ambiante.
Un musicien affirme : « une augmentation de température de 10 °C modifie la hauteur de la note d’un quart de ton ! »
Dans ce problème, on souhaite valider cette affirmation. On étudie pour cela la note jouée par un tuyau métallique à embouchure de flûte appartenant à un jeu de « montre ».


Données
  • Modèle théorique du tuyau ouvert/ouvert (ouvert aux deux extrémités). Lorsqu’une colonne d’air est excitée, un son de fréquence ff est alors émis, tel que : f=12LγRTMf=\dfrac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\dfrac{\gamma R T}{M}}γ=γ = 1,40 est le coefficient de Laplace dans le cas de l’air, R=R = 8,314 J·mol‑1·K‑1 la constante des gaz parfaits, TT la température de l’air en degré Kelvin et M=M = 89 kg·mol‑1 la masse molaire de l’air.
  • Conversion Kelvin-degré Celsius : T(K)=θ+T(\mathrm{K})=\theta+ 273,15 où θ\theta est la température en degré Celsius et TT la température en kelvin.
  • Longueur du tuyau d’orgue étudié à 20 °C : L=L = 52,0 cm.


Construction de la gamme tempérée

La gamme musicale qui est utilisée de nos jours a été élaborée à la fin du XVIIe siècle. Elle est fondée sur une série de notes (DoDo - DoDo# - Reˊ - MiM\hspace{-1.5px}iƄ - MiM\hspace{-1.5px}i - FaF\hspace{-1.5px}a - FaF\hspace{-1.5px}a# - SolSol - SolSol# - LaLa - LaLa# - SiSi - DoDo) qui se répètent. Chaque série constitue une octave et chaque octave est numérotée et découpée en douze intervalles égaux, appelés demi-tons (noté ½ ton).
La division en 12 intervalles égaux de l’octave implique que le rapport de fréquences du demi-ton est égal à 212=\sqrt[12]{2}= 1,059.

Note \rightarrow
\downarrow Octave
DoDo Reˊ MiM\hspace{-1.5px}iƄ MiM\hspace{-1.5px}i FaF\hspace{-1.5px}a FaF\hspace{-1.5px}a# SolSol SolSol# LaLa SiSiƄ SiSi
2
130 147 156 165 175 185 196 208 220 233 247
3
262 294 311 330 349 370 392 415 440 466 494
4
523 587 622 659 698 740 784 831 880 932 988
2
Fréquences (Hz) des notes en fonction de leur octave.

8
À la recherche du grave (d’après bac S, métropole 2013)

Extraire les informations utiles, consuire une analyse quantitative


Questions

1. Le son le plus grave de la contrebasse jouant à vide est un Mi0M\hspace{-1.5px}i_{0}. La longueur de la corde émettant cette note vaut L0=L_{0} = 1,05 m. On souhaite construire une octobasse qui puisse émettre la note do1do_{‑1}. Si l’octobasse possède une corde de même masse linéique et de même tension que la corde « Mi0M\hspace{-1.5px}i_{0} » de la contrebasse, que peut-on dire de la longueur de la corde L1L_{‑1} de l’octobasse nécessaire pour émettre la note do1do_{‑1} ?


2. À quelle difficulté se trouve confronté le luthier ?


3. Sur quels paramètres de la corde peut-il jouer pour régler le problème ?

Un joueur d’octobasse
2
Un joueur d’octobasse doit monter sur un escabeau pour frotter les cordes avec son archet.

Données
Une corde de longueur LL qui vibre a pour fréquence fondamentale : f=12LTμf=\dfrac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\dfrac{T}{\mu}} avec TT la tension de la corde en N et μ\mu la masse linéique en kg·m‑1.

Un joueur de contrebasse
3
Un joueur de contrebasse.

L’histoire de la contrebasse remonte à la création de la famille des violons au XVIe siècle en Italie. La recherche d’instruments à cordes avec ce timbre particulier mais capables de jouer des notes plus graves a conduit à l’élaboration de la contrebasse puis de l’octobasse.
L’octobasse possède trois cordes jouant les notes do1do_{‑1}, sol1sol_{‑1} et do0do_{0}. La longueur des cordes à vide est de 2,15 mètres mais le musicien peut réduire cette longueur en appuyant sur des manettes métalliques.
L’objectif de cet exercice est de répondre au problème que se pose le luthier : comment peut-il produire des notes de plus en plus graves avec l’instrument qu’il fabrique, l’octobasse ?


Numéro d’octave \rightarrow
\downarrow Note
-1 0 1
DoDo
16,3 32,7 65,4
Reˊ
18,3 36,7 73,4
MiM\hspace{-1.5px}i
20,6 41,2 82,4
FaF\hspace{-1.5px}a
21,8 43,6 87,3
SolSol
24,5 49,0 98,0
LaL\hspace{-1.5px}a
27,5 55,0 110
SiSi
30,9 61,7 123,5
1
Fréquences (Hz) de quelques notes dans la gamme tempérée.
Le nom des cordes dépend de la note émise par les cordes dans le mode fondamental quand elles sont pincées à vide.
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