Thème 1 : Une longue histoire de la matière
Ch. 1
Les éléments chimiques
Ch. 2
Des édifices ordonnés : les cristaux
Ch. 3
Une structure complexe : la cellule
Thème 2 : Le Soleil, notre source d'énergie
Ch. 4
Le rayonnement solaire
Ch. 5
Le bilan radiatif terrestre
Ch. 6
Énergie solaire et photosynthèse
Ch. 7
Le bilan thermique du corps humain
Thème 3 : La Terre, un astre singulier
Ch. 8
La forme de la Terre
Ch. 9
L'histoire de l’âge de la Terre
Ch. 10
La Terre dans l’Univers
Thème 4 : Son et musique, porteurs d'information
Ch. 11
Le son, phénomène vibratoire
Ch. 12
Musique et nombres
Ch. 13
Le son, une information à coder
Ch. 14
Entendre la musique
Projet Experimental et Numérique
Livret Maths
Annexes
Chapitre 12
Exercices
Le coin des experts
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8À la recherche du grave (d'après bac S, métropole 2013)
✔ Extraire les informations utiles, consuire une analyse quantitative
L'histoire de la contrebasse remonte à la création de la famille des violons au XVIe siècle en Italie. La recherche d'instruments à cordes avec ce timbre particulier mais capables de jouer des notes plus graves a conduit à l'élaboration de la contrebasse puis de l'octobasse.
L'octobasse possède trois cordes jouant les notes do_{‑1}, sol_{‑1} et do_{0}. La longueur des cordes à vide est de 2,15 mètres mais le musicien peut réduire cette longueur en appuyant sur des manettes métalliques.
L'objectif de cet exercice est de répondre au problème que se pose le luthier : comment peut-il produire des notes de plus en plus graves avec l'instrument qu'il fabrique, l'octobasse ?
Le nom des cordes dépend de la note émise par les cordes dans le mode fondamental quand elles sont pincées à vide.
L'histoire de la contrebasse remonte à la création de la famille des violons au XVIe siècle en Italie. La recherche d'instruments à cordes avec ce timbre particulier mais capables de jouer des notes plus graves a conduit à l'élaboration de la contrebasse puis de l'octobasse.
L'octobasse possède trois cordes jouant les notes do_{‑1}, sol_{‑1} et do_{0}. La longueur des cordes à vide est de 2,15 mètres mais le musicien peut réduire cette longueur en appuyant sur des manettes métalliques.
L'objectif de cet exercice est de répondre au problème que se pose le luthier : comment peut-il produire des notes de plus en plus graves avec l'instrument qu'il fabrique, l'octobasse ?
Doc. 1
Fréquences (Hz) de quelques notes dans la gamme tempérée.| Numéro d'octave \rightarrow \downarrow Note | -1 | 0 | 1 |
| Do | 16,3 | 32,7 | 65,4 |
| Ré | 18,3 | 36,7 | 73,4 |
| M\hspace{-1.5px}i | 20,6 | 41,2 | 82,4 |
| F\hspace{-1.5px}a | 21,8 | 43,6 | 87,3 |
| Sol | 24,5 | 49,0 | 98,0 |
| L\hspace{-1.5px}a | 27,5 | 55,0 | 110 |
| Si | 30,9 | 61,7 | 123,5 |
Le nom des cordes dépend de la note émise par les cordes dans le mode fondamental quand elles sont pincées à vide.
Doc. 2
Un joueur d'octobasse doit monter sur un escabeau
pour frotter les cordes avec son archet.
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Doc. 3
Un joueur de contrebasse.
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Données
Une corde de longueur L qui vibre a pour fréquence fondamentale : f=\dfrac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\dfrac{T}{\mu}} avec T la tension de la corde en N et \mu la masse linéique en kg·m‑1.
1. Le son le plus grave de la contrebasse jouant à vide est un M\hspace{-1.5px}i_{0}. La longueur de la corde émettant cette note vaut L_{0} = 1,05 m. On souhaite construire une octobasse qui puisse émettre la note do_{‑1}. Si l'octobasse possède une corde de même masse linéique et de même tension que la corde « M\hspace{-1.5px}i_{0} » de la contrebasse, que peut-on dire de la longueur de la corde L_{‑1} de l'octobasse nécessaire pour émettre la note do_{‑1} ?
2. À quelle difficulté se trouve confronté le luthier ?
3. Sur quels paramètres de la corde peut-il jouer pour régler le problème ?
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9 Tuyau d'orgue (d'après bac S, Antilles/Guyane septembre 2018)
✔ Utiliser la racine douzième de 2 pour partager l'octave en douze intervalles égaux
Les orgues les plus imposants peuvent comporter de 2 000 à 4 000 tuyaux sonores. Certains tuyaux, comme ceux appartenant au jeu de « montre », sont ouverts à leurs deux extrémités. L'air est insufflé par une soufflerie au niveau de leur base. Un tuyau d'orgue de longueur L émet un son de hauteur déterminée qui dépend de la température ambiante.
Un musicien affirme : « une augmentation de température de 10 °C modifie la hauteur de la note d'un quart de ton ! »
Dans ce problème, on souhaite valider cette affirmation. On étudie pour cela la note jouée par un tuyau métallique à embouchure de flûte appartenant à un jeu de « montre ».
Les orgues les plus imposants peuvent comporter de 2 000 à 4 000 tuyaux sonores. Certains tuyaux, comme ceux appartenant au jeu de « montre », sont ouverts à leurs deux extrémités. L'air est insufflé par une soufflerie au niveau de leur base. Un tuyau d'orgue de longueur L émet un son de hauteur déterminée qui dépend de la température ambiante.
Un musicien affirme : « une augmentation de température de 10 °C modifie la hauteur de la note d'un quart de ton ! »
Dans ce problème, on souhaite valider cette affirmation. On étudie pour cela la note jouée par un tuyau métallique à embouchure de flûte appartenant à un jeu de « montre ».
Données
- Modèle théorique du tuyau ouvert/ouvert (ouvert aux deux extrémités). Lorsqu'une colonne d'air est excitée, un son de fréquence f est alors émis, tel que : f=\dfrac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\dfrac{\gamma R T}{M}}où γ = 1,40 est le coefficient de Laplace dans le cas de l'air, R = 8,314 J·mol‑1·K‑1 la constante des gaz parfaits, T la température de l'air en degré Kelvin et M = 89 kg·mol‑1 la masse molaire de l'air.
- Conversion Kelvin-degré Celsius : T(\mathrm{K})=\theta+ 273,15 où \theta est la température en degré Celsius et T la température en kelvin.
- Longueur du tuyau d'orgue étudié à 20 °C : L = 52,0 cm.
Doc. 1
L'orgue de la cathédrale de Reims.
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Doc. 2
Fréquences (Hz) des notes en fonction de leur octave.| Note \rightarrow \downarrow Octave | Do | Ré | M\hspace{-1.5px}iƄ | M\hspace{-1.5px}i | F\hspace{-1.5px}a | F\hspace{-1.5px}a# | Sol | Sol# | La | SiƄ | Si |
| 2 | 130 | 147 | 156 | 165 | 175 | 185 | 196 | 208 | 220 | 233 | 247 |
| 3 | 262 | 294 | 311 | 330 | 349 | 370 | 392 | 415 | 440 | 466 | 494 |
| 4 | 523 | 587 | 622 | 659 | 698 | 740 | 784 | 831 | 880 | 932 | 988 |
Construction de la gamme tempérée
La gamme musicale qui est utilisée de nos jours a été élaborée à la fin du XVIIe siècle. Elle est fondée sur une série de notes (Do - Do# - Ré - M\hspace{-1.5px}iƄ - M\hspace{-1.5px}i - F\hspace{-1.5px}a - F\hspace{-1.5px}a# - Sol - Sol# - La - La# - Si - Do) qui se répètent. Chaque série constitue une octave et chaque octave est numérotée et découpée en douze intervalles égaux, appelés demi-tons (noté ½ ton).
La division en 12 intervalles égaux de l'octave implique que le rapport de fréquences du demi-ton est égal à \sqrt[12]{2}= 1,059.
Discutez qualitativement l'influence d'une variation de température sur la hauteur du son produit, puis déterminez quantitativement si l'affirmation du musicien sur l'évolution de la hauteur du son est correcte. Un calcul numérique est attendu.
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BUn cycle infini ?
✔ Mettre en place un raisonnement mathématique pour prouver que le cycle des quintes est infini
On sait que la gamme pythagoricienne est décalée d'un comma par rapport à l'octave. Existe-t-il une suite de quintes qui permet d'obtenir l'octave ?
On sait que la gamme pythagoricienne est décalée d'un comma par rapport à l'octave. Existe-t-il une suite de quintes qui permet d'obtenir l'octave ?
1. Traduisez mathématiquement l'égalité entre la n-ième quinte et la p-ième octave.
2. Sachant qu'une puissance de 3 est forcément impaire, répondre à la problématique de l'énoncé.
2. Sachant qu'une puissance de 3 est forcément impaire, répondre à la problématique de l'énoncé.
Données
- Une octave correspond à un intervalle de 2.
- Une quinte correspond à un intervalle de \dfrac{3}{2}.
- Les fréquences des notes successives sont trouvées en faisant le produit des intervalles.
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