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Enseignement scientifique 1re

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Le repaire des initiés




4
Un cycle infini ?

Mettre en place un raisonnement mathématique pour prouver que le cycle des quintes est infini

Version experts (B) ici
.
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On sait que la gamme pythagoricienne est décalée d’un comma par rapport à l’octave. La douzième quinte de la gamme de Pythagore est donc différente de la 7e octave. Mais est-ce le cas pour toutes les quintes ? Existe-t-il une suite de quintes qui permet d’obtenir l’octave ?


Questions

1. Traduisez mathématiquement la phrase en gras dans le texte en partant d'une fréquence f0f_{0}.


2. Traduisez mathématiquement l’égalité entre la n-ième quinte et la p-ième octave.


3. Sachant qu’une puissance de 3 est forcément impaire, existe-t-il une solution à l’équation précédente ?

Données
  • Une octave correspond à un intervalle de 2.
  • Une quinte correspond à un intervalle de 32\dfrac{3}{2}.
  • Les fréquences des notes successives sont trouvées en faisant le produit des intervalles.

5
La gamme de Zarlino

Calculer des puissances et des quotients en lien avec le cycle des quintes


Au XVIe siècle, Gioseffo Zarlino propose d’améliorer la méthode de Pythagore, exclusivement fondée sur la quinte, en ajoutant la tierce. Au lieu de construire sa gamme à 12 notes (les mêmes que dans la gamme de Pythagore) en n’utilisant que la quinte, il utilise aussi la tierce. Il s’agit de l’harmonie que l’on entend si l’on fait vibrer en même temps une corde d’une certaine longueur et une autre mesurant les quatre cinquièmes de la première : la fréquence de la tierce vaut alors 54\dfrac{5}{4} de la note de base.


Questions

1. L’accord fait par une note, sa tierce et sa quinte forme ce qu’on appelle un accord parfait majeur, et il est particulièrement consonant.
  • Donnez l’intervalle entre deux notes de fréquences f1f_{1} et f2f_{2} à la tierce et deux notes de fréquences f1f_{1} et f3f_{3} à la quinte.
  • Déduisez-en l’intervalle entre la note à la tierce de fréquence f2f_{2} et la note à la quinte de fréquence f3f_{3}.



2. Pour écrire sa gamme à 7 notes dodo, reˊ, mimi, faf\hspace{-1.5px}a, solsol, lala, sisi, Zarlino utilise 3 accords parfaits : le premier part de la fondamentale et est donc : domisoldo‑mi‑sol. Le deuxième part de la quinte de la fondamentale qui est donc solsol et l'accord est donc : solsireˊsol‑si‑ré. Le troisième part de la note faf\hspace{-1.5px}a, dont la quinte est la fondamentale dodo. Cet accord est donc : faladof\hspace{-1.5px}a‑la‑do.
  • En partant de la note dodo fictive de fréquence 100 Hz, construisez la gamme à 7 notes de Zarlino et complétez la troisième ligne du tableau ci-dessous.
    Aide : vous pouvez diviser par deux pour rester dans l’octave.

Note DoDo Reˊ MiMi FaF\hspace{-1.5px}a SolSol LaLa SiSi DoDo
Fréquence dans la gamme
de Pythagore (Hz)
100 113 127 132 150 169 190 200
Fréquence dans la gamme
de Zarlino (Hz)
100 200


3. Comparez la fréquence des notes obtenues avec celle de la gamme de Pythagore.

Gioseffo Zarlino (1517-1590)
Gioseffo Zarlino (1517-1590).

6
Construction d’une harpe

Conduire un raisonnement quantitatif


On cherche à construire une harpe à 13 cordes pour jouer les 13 notes de la gamme de Pythagore incluant une gamme complète et la note à l’octave.


Données
La fréquence fondamentale du son émis par une corde est liée à la longueur de la corde par la relation suivante :
f=12LTμf=\dfrac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}

TT est la tension de la corde et μ\mu la masse linéique. On supposera que toutes les cordes ont la même tension et la même masse linéique.

Questions

1. Si la corde correspondant à la note dodo a une longueur LL, quelle devra être la longueur de la corde jouant le dodo à l’octave ?


2. Déduisez-en l’intervalle de longueurs de l'ensemble des cordes.


3. Pour construire sa gamme, Pythagore a pris la quinte de sa note de départ. Exprimez la longueur de la corde jouant la quinte.


4. Pour trouver la longueur de la corde suivante, il a pris la quinte de la quinte et si la longueur de la corde sortait de l’intervalle trouvé à la question 2, alors il la divisait autant de fois par deux que nécessaire pour qu’elle rentre dans cet intervalle. Exprimez la longueur des 10 autres cordes de la harpe.


5. Rédigez un schéma de la harpe obtenue et associez chacune des cordes à sa note (dodo, dodo#, reˊ, mimiƄ, mimi, faf\hspace{-1.5px}a, faf\hspace{-1.5px}a#, solsol, solsol#, lala, sisi, sisiƄ, dodo à l’octave).
Couleurs
Formes
Dessinez ici


La Musique (1890), œuvre d’Ernest
Hébert, peintre français
La Musique (1890), œuvre d’Ernest Hébert, peintre français.

7
Gamme et transposition

Calculer des puissances et des quotients en lien avec le cycle des quintes


On donne à un chanteur d’opéra un morceau de musique écrit avec la gamme de Pythagore qui ne convient pas à sa tessiture. Il faut donc transposer le morceau de trois notes vers le bas. La transposition ne doit pas changer la perception auditive et le morceau doit être reconnu quelle que soit la hauteur de ses notes. La gamme à 12 notes dodo, dodo#, reˊ, mimiƄ, mimi, faf\hspace{-1.5px}a, faf\hspace{-1.5px}a#, solsol, solsol#, lala, sisiƄ, sisi.


Questions

1. Au départ, l’enchaînement des notes est faf\hspace{-1.5px}a, solsol# et mimiƄ, il faut transposer de trois notes vers le bas. Quel sera le nouvel enchaînement de notes ?


2. L’intervalle dans la gamme de Pythagore est-il constant ?


3. La perception auditive est due à l’intervalle entre les notes. La transposition dans la gamme de Pythagore change-t-elle la perception du morceau ? Justifiez.


4. Même question dans la gamme tempérée.


5. Quel est l’intérêt de la gamme tempérée ?

Luciano Pavarotti (1935-2007), chanteur d’opéra
Luciano Pavarotti (1935-2007), chanteur d’opéra.

A
Des notes à l’octave

Maîtriser les notions de cours

Version initiale (l'atelier des apprentis, exercice 1) ici
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Pablo et Thimothée jouent simultanément avec leur flûte alto et sopranino une note. Amira qui les écoute certifie qu’ils ont joué la même note. Après recherches, il s’avère que Pablo a joué un La2 de fréquence f1=f_{1} =220 Hz.


Questions

1. Après avoir rappelé la définition d’une octave, déterminer la fréquence de la note jouée par Thimothée sachant qu’elle se situe trois octaves plus haut.


2. Justifier pourquoi d’un point de vue mathématique ces notes ne sont pas dissonantes.

Krishna, divinité hindoue, jouant de la flûte
Krishna, divinité hindoue, jouant de la flûte.
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