ACTIVITÉ DOCUMENTAIRE


3
Construire les gammes




Doc. 2
Construction de la gamme naturelle dite de Pythagore

Construction de la gamme naturelle dite de Pythagore
Attention, la note de base à 100 Hz n’est pas la fréquence d’un dodo réel mais une simple référence pour le calcul fait ici.

Questions

1. Doc. 1 et 2 Comment passe-t-on d’une colonne à l’autre dans le tableau ? Comment passe-t-on d’une ligne à l’autre dans le tableau ? Pourquoi faut-il diviser une ou plusieurs fois certaines fréquences obtenues par 2 ?


2. Doc. 1 et 2 Mettez dans l’ordre les douze notes de la gamme chromatique.
  • SOL#
  • SOL
  • FA
  • FA#
  • LA
  • SIƄ
  • SI
  • RE
  • DO#
  • MI
  • MIƄ
  • DO
01

02

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05

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10

11

12


3. Doc. 2 et 3 Comparez l’ordre des notes dans le tableau et l’ordre des notes sur le cercle (sens des aiguilles d’une montre). Que constatez-vous au bout de la 12e quinte ?


4. Doc. 2 et 3 Que représente le comma sur le cercle ? Expliquez ce qu’est la quinte du loup.


5. Doc. 4 Que proposent les musiciens dont Jean-Sébastien Bach pour répondre au problème posé par la quinte du loup ?


6. Doc. 2 et 4 Calculez la fréquence des 6 premières notes de la gamme tempérée en partant de la même note de base : dodo à 100 Hz. Comparez la fréquence de chacune de ces notes dans les deux gammes.


7. Doc. 1, 2, 3 et 4 Pourquoi peut-on dire que la musique est l’art de faire entendre les nombres ?

Pythagore, qui pensait que le monde pouvait être expliqué par les mathématiques, a été le premier à relier cette science à la musique. Il est à l’origine de la première gamme connue.

➜ Il existe une infinité de fréquences, donc de notes possibles. Comment choisir alors les fréquences qui constitueront l’ensemble des notes d’une gamme ?


Doc. 4
La gamme tempérée

Pour résoudre le problème lié à la quinte du loup, de nombreux musiciens, dont Jean-Sébastien Bach notamment avec son livre Le Clavier bien tempéré paru en 1722, proposent une nouvelle manière de découper une gamme : la gamme tempérée.
Le principe de la gamme tempérée, d'après Bach, est simple : « Le rapport de l’octave étant égal à 2 et contenant douze intervalles, il suffit de les diviser en 12 intervalles égaux (12 demi-tons). Le rapport de fréquences du demi-ton tempéré sera alors égal à la racine douzième de 2 (environ 1,05946) :
212=\sqrt[12]{2}= 1,059 463 094 359 3…

En d’autres termes, si l’on multiplie 12 fois un nombre ff par cette valeur on obtient exactement 2ff », donc l’octave supérieure.

Jean-Sébastien Bach (1685-1750)
Jean-Sébastien Bach (1685-1750).

Doc. 3
La quinte du loup

La quinte du loup

Le problème de la gamme de Pythagore est le léger décalage entre la fréquence d’un dodo théorique à l’octave (200 Hz) et la fréquence de cette note obtenue en prenant 12 fois la quinte du dodo théorique de départ (203 Hz). On ne peut pas faire une boucle complète pour retomber exactement sur l’octave et plus on monte dans les octaves, plus ce décalage augmente. Il faut donc raccourcir la douzième quinte pure de 3 Hz (uncomma) pour retrouver 200 Hz, la fréquence du dodo à l’octave. Une quinte qui associerait alors les notes mimi# et dodo étant plus courte que ce qu'elle devrait, elle est très dissonante et semble hurler à la manière d’un loup, d’où son nom.


Doc. 1
La ronde des quintes

Pythagore veut créer une gamme, c’est-à-dire un nombre précis de notes. Seul problème : il y a une infinité de sons possibles. Il propose alors de partir de la corde entière, puis de prendre la quinte, puis la quinte de la quinte, puis la quinte de la quinte de la quinte et ainsi de suite. Si la fréquence de la corde entière vaut 1, alors la fréquence de l’octave vaut le double, soit deux. On cherche donc les quintes dont la fréquence est comprise entre 1 et 2. Prenons une corde qui fait sonner un dodo.

La première quinte vaut 32=\dfrac{3}{2}= 1,5. C’est le solsol.

La deuxième quinte de la quinte vaut 32×32\dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2}, c’est-à-dire 3222=\dfrac{3^{2}}{2^{2}}= 2,25 ; c’est au-delà de 2 (l’octave) ; on divise donc par deux cette fréquence pour la ramener dans notre octave de départ : on obtient alors 1,125. C’est le reˊ ! La troisième quinte vaut 3323=\dfrac{3^{3}}{2^{3}}= 3,38.

On la ramène dans l’octave en divisant par deux ce qui donne : 1,69. C’est le lala.

La quatrième quinte vaut 3424=\dfrac{3^{4}}{2^{4}}= 5,06. On divise par deux : 2,53. C’est encore trop donc on divise à nouveau par deux : 1,256. C’est le mimi. On continue comme cela jusqu’à la douzième quinte qui vaut 312212=\dfrac{3^{12}}{2^{12}}= 129,75 que l’on réduit en divisant par deux six fois de suite pour obtenir 2,03.

C’est, à très peu de chose près, la fréquence de l’octave ! Cela signifie qu’en prenant douze fois de suite la quinte, on crée douze notes, la douzième étant l’octave de la première. Il ne reste plus qu’à mettre les fréquences dans l’ordre des fréquences croissantes (de la plus petite à la plus grande) pour obtenir les douze notes de la gamme chromatique.


Antoine Houlou-Garcia, « La musique des nombres », Cosinus, n° 205 juin 2018.

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maths

Retrouvez des rappels de cours et des exercices d’application sur les racines n-ième p. 275.
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