Cours




Pas de malentendu

En acoustique musicale et dans ce cours, un intervalle désigne le rapport des fréquences de deux sons.
En théorie musicale en revanche, un intervalle désigne l'écart de hauteur entre deux notes.

Instant
maths

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut être représenté par une fraction de nombres entiers relatifs.
212=\sqrt[12]{2}=1,059 463 094 359 3... est un nombre irrationnel.
1,5=32=\dfrac{3}{2} est un nombre rationnel.
0,666 666…=23=\dfrac{2}{3} est aussi un nombre rationnel.

Mots-clés

Intervalle

Octave

Gamme

Quinte



Intervalle : rapport entre la fréquence de 2 notes.

Octave : : intervalle égal à 2 et séparant 2 notes de même nom (f(La1)=f(La1) = 55 Hz ; f(La2)=f(La2) = 110 Hz ; f(La3)=f(La3) = 220 Hz ; f(La4)=f(La4) = 440 Hz, etc.).

Gamme : ensemble de notes comprises dans une octave (DoDo, Reˊ, MiM\hspace{-1.5px}i, FaF\hspace{-1.5px}a, SolSol, LaLa, SiSi, DoDo).

Quinte : intervalle égal à 3/2. Il s’agit de la base de la gamme pythagoricienne.

➜ Un exemple concret

La fréquence d'un la3la3 : f1=f_{1} = 440 Hz.
Une octave plus haut, on a un la4la4 : f2=f_{2} = 440 ×× 2 = 880 Hz.

La construction des gammes


La gamme de Pythagore

Pour construire la gamme de Pythagore, on prend la quinte de la note de départ (ici le dodo), puis la quinte de la nouvelle note (ici le solsol), etc. On divise par deux (ou on multiplie par ½) autant de fois que nécessaire la fréquence de la note obtenue pour qu’elle soit comprise dans l’octave, donc de fréquence inférieure au double de celle du dodo de départ. En prenant 12 fois la quinte du dodo on retombe sur un dodo à l’octave.

Avec cette méthode, le fréquence du dodo à l’octave est un peu supérieure à la fréquence attendue, on diminue donc la quinte (fado)(f\hspace{-1.5px}a‑do) d’un comma, la quinte fadof\hspace{-1.5px}a‑do est donc plus courte que celle attendue. Elle est dissonante et on l’appelle la quinte du loup car, lorsqu’elle est jouée dans une série de notes, elle semble hurler comme un loup.

Le cycle des quintes
Le cycle des quintes.

La gamme tempérée

La gamme tempérée
La gamme tempérée à 12 notes et ses intervalles. On constate que la valeur de l’intervalle reste constante entre chaque demi-ton.

La musique, un art organisé


Gamme à 12 notes
Gamme à 12 notes.

2
La construction des gammes

A
La gamme de Pythagore

Dès l’Antiquité, la construction des gammes est basée sur des fractions simples, (2/1, 3/2, 4/3, etc.). En effet, des sons dont les fréquences sont dans ces rapports simples sont consonants, c’est-à-dire qu’ils provoquent une sensation agréable à l’écoute.

Pythagore s’est servi de la quinte pour définir sa gamme. La quinte est l’intervalle entre deux fréquences de rapport 3/2.

Pour construire sa gamme, il a pris la quinte de la note de départ de sa gamme, il a obtenu une fréquence donc une note, puis il a pris la quinte de la quinte de la note de départ et ainsi de suite 12 fois pour obtenir les 12 notes de sa gamme. Si la fréquence obtenue est supérieure à l’octave de la note de départ, alors Pythagore divisait par deux autant de fois que nécessaire la fréquence de la note obtenue pour qu’elle rentre dans la gamme.

La gamme de Pythagore est donc basée sur le cycle des quintes.


B
La gamme tempérée

La gamme de Pythagore présente un inconvénient majeur : l’intervalle entre deux notes consécutives n’est pas constant, ce qui provoque des dissonances (la plus connue est la quinte du loup).

La gamme tempérée de Jean-Sébastien Bach comporte 12 notes dont l’intervalle vaut 212=\sqrt[12]{2}= 1,059 463 094 359 3..., qui est un nombre irrationnel.


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La musique, un art organisé

Une note correspond à la hauteur d’un son. Elle est donc caractérisée par la fréquence fondamentale du son en hertz.

Le rapport f2f1\dfrac{f_{2}}{f_{1}} entre deux notes de fréquences f1f_{1} et f2f_{2} telles que f2>f1f_{2} > f_{1} s’appelle un intervalle en musique.

Lorsque l'intervalle entre deux notes vaut 2, cet intervalle s'appelle une octave.

Deux notes à l'octave portent le même nom.

Entre deux notes à l’octave, on trouve une suite finie de notes dont les fréquences sont comprises entre f1f_{1} et 2f12f_{1}. Cette suite finie de notes répartie sur une octave s’appelle une gamme.

Pas de malentendu

Dans une quinte, les deux notes jouées ont un rapport de fréquences de 3/2, ce qui correspond à 7 demi-tons. On en déduit que pour un dodo, la note à la quinte est sol. En revanche, dans l’exemple de la quinte du loup, dodo est la note à la quinte de faf\hspace{-1.5px}a.
Il faut bien garder à l’esprit que la quinte de la quinte d’une note ne correspond pas à la note de départ !
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