Musique et nombres

Une note correspond à la hauteur d'un son. Elle est donc caractérisée par la fréquence fondamentale du son en hertz.

Le rapport $\frac{f_2}{f_1}$ entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ telles que $f_2>f_1$ s'appelle un intervalle en musique.

Lorsque l'intervalle entre deux notes vaut 2, cet intervalle s'appelle une octave.

Deux notes à l'octave portent le même nom.

Entre deux notes à l'octave, on trouve une suite finie de notes dont les fréquences sont comprises entre $f_1$ et $2f_1$. Cette suite finie de notes répartie sur une octave s'appelle une gamme.

En acoustique musicale et dans ce cours, un intervalle désigne le rapport des fréquences de deux sons.
En théorie musicale en revanche, un intervalle désigne l'écart de hauteur entre deux notes.

La fréquence d'un $la3$ : $f_1=$ 440 Hz.
Une octave plus haut, on a un $la4$ : $f_2=$ 440 $\times$ 2 = 880 Hz.

A

La gamme de Pythagore

Dès l'Antiquité, la construction des gammes est basée sur des fractions simples, (2/1, 3/2, 4/3, etc.). En effet, des sons dont les fréquences sont dans ces rapports simples sont consonants, c'est-à-dire qu'ils provoquent une sensation agréable à l'écoute.

Pythagore s'est servi de la quinte pour définir sa gamme. La quinte est l'intervalle entre deux fréquences de rapport 3/2.

Pour construire sa gamme, il a pris la quinte de la note de départ de sa gamme, il a obtenu une fréquence donc une note, puis il a pris la quinte de la quinte de la note de départ et ainsi de suite 12 fois pour obtenir les 12 notes de sa gamme. Si la fréquence obtenue est supérieure à l'octave de la note de départ, alors Pythagore divisait par deux autant de fois que nécessaire la fréquence de la note obtenue pour qu'elle rentre dans la gamme.

La gamme de Pythagore est donc basée sur le cycle des quintes.

B

La gamme tempérée

La gamme de Pythagore présente un inconvénient majeur : l'intervalle entre deux notes consécutives n'est pas constant, ce qui provoque des dissonances (la plus connue est la quinte du loup).

La gamme tempérée de Jean-Sébastien Bach comporte 12 notes dont l'intervalle vaut $\sqrt[12]{2}=$ 1,059 463 094 359 3..., qui est un nombre irrationnel.

Dans une quinte, les deux notes jouées ont un rapport de fréquences de 3/2, ce qui correspond à 7 demi-tons. On en déduit que pour un $do$, la note à la quinte est sol. En revanche, dans l'exemple de la quinte du loup, $do$ est la note à la quinte de $fa$.
Il faut bien garder à l'esprit que la quinte de la quinte d'une note ne correspond pas à la note de départ !

Intervalle : rapport entre la fréquence de 2 notes.

Octave : intervalle égal à 2 et séparant 2 notes de même nom ($f(La1)=$ 110 Hz ; $f(La2)=$ 220 Hz ; $f(La3)=$ 440 Hz ; $f(La4)=$ 880 Hz, etc.).

Gamme : ensemble de notes comprises dans une octave ($Do$, $R\acute{e}$, $Mi$, $Fa$, $Sol$, $La$, $Si$, $Do$).

Quinte : intervalle égal à 3/2. Il s'agit de la base de la gamme pythagoricienne.