Objectif

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Lunette de Kepler

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Cercle oculaire

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Lunette à trois lentilles

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Microscope

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Cercle oculaire

✔ COM : Rédiger correctement une résolution d’exercice
✔ VAL : Respecter le nombre de chiffres significatifs


Un astronome observe un objet $\text{AB}$ considéré à l’infini à l’aide d’une lunette astronomique. Le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire.

1. Construire l’image intermédiaire $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1$.
Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

2. Tracer deux rayons issus de $\mathrm{B}_1$ et émergeant de l’oculaire.

Le cercle oculaire est l’image du bord circulaire de l’objectif qui est formée par l’oculaire.

3. Construire le cercle oculaire sur le schéma.

4. À l’aide du théorème de Thalès, exprimer le diamètre $d$ du cercle oculaire en fonction du diamètre $D$ de l’objectif et des distances focales des deux lentilles.


5. On observe le cercle oculaire sur un écran.
Sachant que le diamètre de l’objectif est de $20{,}0$ cm, déterminer le grossissement $G$ de la lunette astronomique.


■ Photo du cercle oculaire de la lunette astronomique


► Une graduation équivaut à $0{,}1$ mm

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Lunette à trois lentilles

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement
✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

Si la lunette astronomique présente de nombreux avantages (praticité, simplicité), elle a aussi quelques défauts. On s’intéresse à une amélioration possible de l’instrument à l’aide d’une troisième lentille.

I. Lunette astronomique

Dans un premier temps, on considère une lunette astronomique comprenant un objectif et un oculaire de distances focales respectives $f'_1 = 40$ cm et $f'_2 = 10$ cm

1. Faire un schéma de la lunette astronomique comportant le tracé de deux rayons parallèles arrivant avec un angle $α$ avec l’axe optique.

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2. Montrer que le grossissement $G$ peut s’écrire : $G=\dfrac{f_{1}^{\prime}}{f_{2}^{\prime}}$

II. Ajout d’une troisième lentille

On ajoute une troisième lentille, notée $\mathrm{L}_3$, afin d’augmenter le grossissement, mais aussi de redresser l’image afin d’avoir une image droite. Cette lentille est intercalée entre l’objectif et l’oculaire. On notera $f'_3$ sa distance focale, $\mathrm{A}'\mathrm{B}'$ l’image par l’objectif et $\mathrm{A}''\mathrm{B}''$ l’image de $\mathrm{A}'\mathrm{B}'$ par la lentille $\mathrm{L}_3$.
Le foyer objet de $\mathrm{L}_3$ est situé entre $F'_1$ et $\mathrm{O}_3$ et le foyer image de $\mathrm{L}_3$ est placé entre $\mathrm{O}_3$ et $\mathrm{F}_2$.

1. Afin de garder une image à l’infini à la sortie de l’oculaire, préciser où doit se former l’image $\mathrm{A}''\mathrm{B}''$.


2. Compléter le schéma avec le tracé de deux rayons inclinés par rapport à l’axe optique. On placera notamment les foyers objet et image de la lentille $\mathrm{L}_3$.

3. Justifier le sens de l’image finale.


$G'$ étant le grossissement de cette lunette à trois lentilles, on peut démontrer que : $G' = K · G$ avec $K=\dfrac{f_{3}^{\prime}}{\overline{\mathrm{O}_{3} \mathrm{F}_{1}^{\prime}}+f_{3}^{\prime}}$
4. Préciser la condition nécessaire sur $K$ pour que le grossissement $G'$ soit plus grand que $G$.


5. Étant donné l’expression de $K$, conclure quant à la possibilité de réaliser physiquement ces conditions.


■ Lunette à trois lentilles

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Microscope

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement
✔ COM : Rédiger correctement une résolution d’exercice

Le microscope est un instrument similaire à la lunette astronomique, utilisé pour observer des objets proches et de petite taille. On note $f'_1$ la distance focale de la lentille $\mathrm{L}_1$ et $f'_2$ la distance focale de la lentille $\mathrm{L}_2$.

1. Les lentilles sont placées pour que l’image par la lentille $\mathrm{L}_1$ se forme au foyer objet de la lentille $\mathrm{L}_2$.
Expliquer pourquoi.


2. Construire l’image de l’objet $\text{AB}$ situé à la distance $d$ de la lentille $\mathrm{L}_1$ par la lentille $\mathrm{L}_1$, que l’on notera $\mathrm{A}'\mathrm{B}'$.

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3. $\mathrm{A}'\mathrm{B}'$ sert alors d’objet pour la lentille $\mathrm{L}_2$. Placer la lentille $\mathrm{L}_2$ et construire l’image finale par le microscope.

On note $α$ l’angle d’observation de $\text{AB}$ à l’œil nu et $\alpha'$ l’angle entre l’axe optique et les rayons à la sortie de la lentille $\mathrm{L}_2$.

4. Montrer, dans l’approximation des petits angles, que : $\alpha=\dfrac{\mathrm{AB}}{d}$ et $\alpha^{\prime}=\dfrac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}{f^{\prime}_{2}}$

5. Démontrer que le grossissement s’écrit $G=\varDelta · \dfrac{f_{1}^{\prime}}{f_{2}^{\prime}}$ avec $\varDelta$ à définir.


On souhaite observer un objet à travers ce microscope de grossissement à l’œil nu. Ce dernier est modélisé par une lentille mince convergente de focale $f' = 16{,}7$ mm. L’image finale à travers l’oeil mesure $\mathrm{A}''\mathrm{B}'' = 5{,}2$ cm.

6. Compléter le schéma en ajoutant l’œil sur le schéma et compléter le tracé des rayons.
Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

7. Calculer $\alpha'$.


8. En déduire alors une valeur de $α$.


9. À l’aide de la question 5., calculer la valeur de la distance $d$ entre la lentille $\mathrm{L}_1$ et le point $\text{A}$.


10. Exprimer l’angle $α$ en fonction de la distance $d$ et de la taille de l’objet $\text{AB}$. En déduire la valeur de $\text{AB}$.

Données

• Distance focale de l’objectif : $f'_1 = 7{,}0$ mm
• Distance focale de l’oculaire : $f'_2 = 4{,}0$ cm
• Grossissement du microscope : $G = 50{,}0$

■ Schéma du microscope