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COURS 1


1
Médiane et écart interquartile




Application et méthode




SOLUTION


Médiane et écart interquartile - Statistiques descriptives
  • On lit sur l’écran de la calculatrice que la médiane est 3.3.
  • Comme la seconde médiane est de 22 points supérieure à la première, cela nous indique qu’une grande partie des élèves a mieux réussi la seconde interrogation.
  • 42=24 - 2 = 2 donc l’écart interquartile est égal à 2.2.
  • Comme le second écart interquartile est de 22 points inférieur au premier, cela caractérise une moins grande dispersion des notes autour de la médiane lors de la seconde interrogation.

Pour s'entraîner : exercices 23 ; 24 et 25 p. 281

SOLUTION

L’effectif total est de N=35. \text{N} = 35 .
  • 12×35=17,5\dfrac { 1 } { 2 } \times 35 = 17\text{,}5 donc la médiane est la 18e valeur. Ainsi, Me=1.\text{Me} = 1 .

  • 14×35=8,75\dfrac { 1 } { 4 } \times 35 = 8\text{,}75 donc le 1er quartile est la 9e valeur. Ainsi, Q1=0.\text{Q} _ { 1 } = 0 .

  • 34×35=26,25\dfrac { 3 } { 4 } \times 35 = 26\text{,}25 donc le 3e quartile est la 27e valeur. Ainsi, Q3=4.\text{Q} _ { 3 } = 4 .

  • 40=04 - 0 = 0 donc l’écart interquartile vaut 4.4.

Pour s'entraîner : exercices 16 ; 17 ; 18 et 19 p. 281

Calculer des indicateurs à la calculatrice et comparer des séries

Ce même professeur a recensé les résultats des élèves lors de la seconde interrogation de l’année. À l’aide de la calculatrice, déterminer les indicateurs de cette seconde série afin de la comparer à celle de l'exemple précédent.

 Note / 5 0 1 2 3 4 5
 Effectif 3 5 8 10 6 3

Méthode

1. On additionne tous les effectifs.
2. On détermine la position de la médiane à partir de l'effectif puis sa valeur.
3. On détermine la position des quartiles puis leur valeur en s'aidant éventuellement des effectifs cumulés croissants.

Méthode

1. On entre d’abord les notes et les effectifs dans le menu stats de la calculatrice puis on lui fait calculer les indicateurs. → Voir la fiche calculatrice associée.
2. La formule de calcul de l’écart interquartile est Q3Q1.\mathrm { Q } _ { 3 } - \mathrm { Q } _ { 1 }.
3. Comme la médiane de l'exemple précédent était 1,\text{1,} cela signifi ait qu’au moins 50 % des élèves avaient obtenu 1/5 ou moins à l’interrogation. Lors de la seconde interrogation, au moins 50 % ont atteint 3/5.

Calculer des indicateurs d’une série présentée sous forme de tableau

Un professeur de mathématiques a recensé les notes sur 5 de ses élèves de seconde obtenues lors de la première interrogation de l’année.
Calculer les indicateurs vus dans la leçon.

 Note / 5 0 1 2 3 4 5
 Effectif 9 10 3 3 4 6

A
La médiane

Remarque

Dans le cas où N\text{N} est pair, il pourrait y avoir plusieurs valeurs possibles pour la médiane car elle est située entre les deux valeurs centrales. Cette définition permet de définir une valeur unique.

Définition

Soit une série de N\text{N} valeurs rangées par ordre croissant. La médiane Me\text{Me} est le nombre défini par :
  • si N\text{N} est impair, Me\text{Me} est la valeur centrale ;
  • si N\text{N} est pair, Me\text{Me} est la moyenne des deux valeurs centrales.

Exemple

On considère la série suivante : 2;1;0;0;3;4;4;5;-2 \: ; -1 \: ; 0 \: ; 0 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 15;25.15 \: ; 25 .
N=10,\text{N} = 10 , la médiane est la moyenne de la 5e et de la 6e valeur : Me=3+42=3,5.\mathrm { Me } = \dfrac { 3 + 4 } { 2 } = 3\text{,}5.

Remarque

On a aussi au moins 50 % des valeurs qui sont supérieures ou égales à Me.\text{Me}.

Propriété

On a ainsi au moins 50 % des valeurs de la série qui sont inférieures ou égales à la médiane.

B
Les quartiles


Définitions

  • Le premier quartile, noté Q1,\mathrm { Q } _ { 1 }, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs soient inférieures ou égales à Q1.\mathrm { Q } _ { 1 }.
  • Le troisième quartile, noté Q3,\mathrm { Q } _ { 3 }, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75 % des valeurs soient inférieures ou égales à Q3.\mathrm { Q } _ { 3 }.

Les quartiles - Médiane et écart interquartile - Statistiques descriptives

Remarque

Le rang du 1er quartile d’une série de N\text{N} valeurs est le plus petit entier supérieur ou égal à 14N.\dfrac { 1 } { 4 } \mathrm { N }.

Remarque

Le rang du 3e quartile est le plus petit entier supérieur ou égal à 34N.\dfrac { 3 } { 4 } \mathrm { N }.

Exemple

On reprend la série précédente : N4=104=2,5.\dfrac { \mathrm { N } } { 4 } = \dfrac { 10 } { 4 } = 2\text{,}5. Q1\mathrm { Q } _ { 1 } est la 3e valeur : Q1=0.\mathrm { Q } _ { 1 } = 0.
Il ne faut pas confondre le rang de Q1\mathrm { Q } _ { 1 } et sa valeur.

C
L’écart interquartile : un indicateur de dispersion

Remarque

L’écart interquartile indique la longueur de l’intervalle dans lequel la moitié centrale des valeurs de la série sont comprises.

Définitions
  • L’écart interquartile est la différence Q3Q1.\mathrm { Q } _ { 3 } - \mathrm { Q } _ { 1 }.
  • L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1;Q3].\left[ \mathrm { Q } _ { 1 } \: ; \mathrm { Q } _ { 3 } \right].

Propriété

Au moins 50 % des valeurs de la série sont comprises dans l’intervalle interquartile.
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