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2. Moyenne et écart-type
P.274-275

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COURS 2


2
Moyenne et écart-type




On considère ici la série statistique donnée par le tableau ci-dessous et on note l’effectif total.

 Valeur ...
 Effectif ...

A
La moyenne pondérée : indicateur de tendance centrale


Définition

La moyenne pondérée de la série ci-dessus est le nombre, noté tel que :


Propriété

Soient et deux nombres réels.
Si une série de valeurs a pour moyenne alors la série de valeurs a pour moyenne

DÉMONSTRATION

Calculons la moyenne de la série de valeurs

Remarques

1. On peut factoriser les termes en par

2. car

Exemple

Nombre d’appels reçus par jour par un standardiste pendant 20 jours :

 Nombre d’appels 8 9 11 12 14 16
 Effectif 1 3 5 5 2 4




En moyenne, ce standardiste reçoit appels par jour.

B
L’écart-type : un indicateur de dispersion


Définition

L’écart-type d’une série de valeurs est le nombre positif, noté défini par :

Remarque

Le calcul de l’écart-type se fait généralement à la calculatrice.

Exemple

On reprend l’exemple de la partie A.


En moyenne, le nombre d’appels par jour s’écarte de par rapport à

Remarque

Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.

Application et méthode

Calculer la moyenne pondérée et l’écart-type

Inès a compté le nombre d’heures par jour qu’elle a passé à faire ses devoirs au mois de septembre. Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série.

 Heures par jour 0 1 2 3 4
 Effectif 3 6 11 8 2

Méthode

1. On additionne tous les effectifs et on obtient
2. On n’additionne pas les heures égales à dans le calcul de la moyenne, ni les écarts entre et dans l’écart-type.
3. En moyenne, son nombre d’heures par jour passées à faire ses devoirs s’écarte d’environ h de la moyenne.


SOLUTION

  • On vérifie qu’elle n’a oublié aucun des 30 jours de septembre.


  • En moyenne, elle a passé h par jour à faire ses devoirs en septembre.


  • L’écart-type de la série est environ égal à


Pour s'entraîner : exercices 20 ; 21 ; 22 et 27 p. 281


Calculer des indicateurs à la calculatrice et comparer des séries

Igor a aussi effectué ce recueil de données le concernant. Déterminer les mêmes indicateurs à l’aide du mode stats de la calculatrice et comparer le temps de travail hebdomadaire des deux lycéens.

 Heures par jour 0 1 2 3 4 5
 Effectif 9 7 2 3 5 4

Méthode

1. Il faut éditer deux listes dans le mode stats de la calculatrice, puis demander le calcul d’une série à une variable avec la 2e liste comme fréquence.
2. L'écart-type indique l'écart moyen avec la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.

SOLUTION

Moyenne et  écart-type - Statistiques descriptives
  • On lit sur l’écran de la calculatrice que la moyenne est égale à et que l’écart-type est environ égal à
  • Les deux moyennes étant égales ( h par jour), Inès et Igor fournissent donc une quantité de travail similaire à l’échelle d’un mois.
  • Comme l’écart-type de la série d’Igor est plus important que celui d’Inès, cela signifie que les valeurs de sa série sont plus dispersées.
  • Le temps de travail hebdomadaire d’Igor s’éloigne plus souvent de la moyenne par jour, en positif ou en négatif. Il travaille de façon moins régulière.


Pour s'entraîner : exercices 23 ; 24 et 25 p. 281
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