Chapitre 10
Cours 2
Moyenne et écart-type
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On considère ici la série statistique donnée par le tableau
ci-dessous et on note \mathrm { N } = n _ { 1 } + n _ { 2 } + \ldots + n _ { p } l'effectif total.
| Valeur | x _ { 1 } | x _ { 2 } | ... | x _ { p } |
| Effectif | n _ { 1 } | n _ { 2 } | ... | n _ { p } |
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ALa moyenne pondérée : indicateur de tendance centrale
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Définition
La moyenne pondérée de la série ci-dessus est le nombre, noté \overline { x }, tel que :
\overline { x } = \dfrac { n _ { 1 } x _ { 1 } + n _ { 2 } x _ { 2 } + \ldots + n _ { p } x _ { p } } { \mathrm { N } }.
\overline { x } = \dfrac { n _ { 1 } x _ { 1 } + n _ { 2 } x _ { 2 } + \ldots + n _ { p } x _ { p } } { \mathrm { N } }.
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Propriété
Soient a et b deux nombres réels.
Si une série de valeurs \left\{ x _ { i } \right\} _ { 1 \leqslant i \leqslant p } a pour moyenne \overline { x }, alors la série de valeurs \left\{ a x _ { i } + b \right\} _ { 1 \leqslant i \leqslant n } a pour moyenne a \overline { x } + b.
Si une série de valeurs \left\{ x _ { i } \right\} _ { 1 \leqslant i \leqslant p } a pour moyenne \overline { x }, alors la série de valeurs \left\{ a x _ { i } + b \right\} _ { 1 \leqslant i \leqslant n } a pour moyenne a \overline { x } + b.
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Démonstration
Calculons la moyenne de la série de valeurs a x _ { i } + b \: :
\begin{array} { l } { \dfrac { n _ { 1 } \left( a x _ { 1 } + b \right) + \ldots + n _ { p } \left( a x _ { p } + b \right) } { \mathrm { N } }} \\\\ {= \dfrac { n _ { 1 } a x _ { 1 } + n _ { 1 } b + \ldots + n _ { p } a x _ { p } + n _ { p } b } { \mathrm { N } } } \\\\ { = \dfrac { a n _ { 1 } x _ { 1 } + \ldots + a n _ { p } x _ { p } } { \mathrm { N } } + \dfrac { n _ { 1 } b + \ldots + n _ { p } b } { \mathrm { N } } } \\\\ { = a \dfrac { n _ { 1 } x _ { 1 } + \ldots + n _ { p } x _ { p } } { \mathrm { N } } + b \dfrac { n _ { 1 } + \ldots + n _ { p } } { \mathrm { N } } } \\\\ {= a \overline { x } + b } \end{array}
\begin{array} { l } { \dfrac { n _ { 1 } \left( a x _ { 1 } + b \right) + \ldots + n _ { p } \left( a x _ { p } + b \right) } { \mathrm { N } }} \\\\ {= \dfrac { n _ { 1 } a x _ { 1 } + n _ { 1 } b + \ldots + n _ { p } a x _ { p } + n _ { p } b } { \mathrm { N } } } \\\\ { = \dfrac { a n _ { 1 } x _ { 1 } + \ldots + a n _ { p } x _ { p } } { \mathrm { N } } + \dfrac { n _ { 1 } b + \ldots + n _ { p } b } { \mathrm { N } } } \\\\ { = a \dfrac { n _ { 1 } x _ { 1 } + \ldots + n _ { p } x _ { p } } { \mathrm { N } } + b \dfrac { n _ { 1 } + \ldots + n _ { p } } { \mathrm { N } } } \\\\ {= a \overline { x } + b } \end{array}
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1. On peut factoriser les termes en a n _ { i } x _ { i } par a.
2. \dfrac { n _ { 1 } + \ldots + n _ { p } } { \mathrm { N } } = 1 car n _ { 1 } + \ldots + n _ { p } = \mathrm { N }.
2. \dfrac { n _ { 1 } + \ldots + n _ { p } } { \mathrm { N } } = 1 car n _ { 1 } + \ldots + n _ { p } = \mathrm { N }.
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Exemple
Nombre d'appels reçus par jour par un standardiste pendant 20 jours :
\overline { x } = \dfrac { 8 + 9 \times 3 + 11 \times 5 + 12 \times 5 + 14 \times 2 + 16 \times 4 } { 20 } = 12\text{,}1
En moyenne, ce standardiste reçoit 12\text{,}1 appels par jour.
| Nombre d'appels | 8 | 9 | 11 | 12 | 14 | 16 |
| Effectif | 1 | 3 | 5 | 5 | 2 | 4 |
\overline { x } = \dfrac { 8 + 9 \times 3 + 11 \times 5 + 12 \times 5 + 14 \times 2 + 16 \times 4 } { 20 } = 12\text{,}1
En moyenne, ce standardiste reçoit 12\text{,}1 appels par jour.
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EXCLU. PREMIUM 2023
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BL'écart-type : un indicateur de dispersion
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Définition
L'écart-type d'une série de valeurs \left\{ x _ { i } \right\} _ { 1 \leqslant i \leqslant p }, est le nombre positif, noté \sigma, défini par :
\sigma = \sqrt { \dfrac { n _ { 1 } \left( x _ { 1 } - \overline { x } \right) ^ { 2 } + n _ { 2 } \left( x _ { 2 } - \overline { x } \right) ^ { 2 } + \ldots + n _ { p } \left( x _ { p } - \overline { x } \right) ^ { 2 } } { \mathrm { N } } }.
\sigma = \sqrt { \dfrac { n _ { 1 } \left( x _ { 1 } - \overline { x } \right) ^ { 2 } + n _ { 2 } \left( x _ { 2 } - \overline { x } \right) ^ { 2 } + \ldots + n _ { p } \left( x _ { p } - \overline { x } \right) ^ { 2 } } { \mathrm { N } } }.
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Le calcul de l'écart-type se fait généralement à la calculatrice.
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Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
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Exemple
On reprend l'exemple de la partie A.
En moyenne, le nombre d'appels par jour s'écarte de 2\text{,}4 par rapport à \overline { x }.
\sigma = \sqrt { \dfrac { ( 8 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 3 ( 9 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 5 ( 11 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 5 ( 12 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 2 ( 14 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 4 ( 16 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } } { 20 } }
\approx 2\text{,}4
En moyenne, le nombre d'appels par jour s'écarte de 2\text{,}4 par rapport à \overline { x }.
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Application et méthode
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Calculer la moyenne pondérée et l'écart-type
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Énoncé
Inès a compté le nombre d'heures par jour qu'elle a passé à faire ses devoirs au mois de septembre.
Calculer la moyenne et l'écart-type de cette série.
| Heures par jour | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Effectif | 3 | 6 | 11 | 8 | 2 |
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1. On additionne tous les effectifs et on
obtient 30.
2. On n'additionne pas les heures égales à 0 dans le calcul de la moyenne, ni les écarts entre 2 et 2 dans l'écart-type.
3. En moyenne, son nombre d'heures par jour passées à faire ses devoirs s'écarte d'environ 1\text{,}1 h de la moyenne.
2. On n'additionne pas les heures égales à 0 dans le calcul de la moyenne, ni les écarts entre 2 et 2 dans l'écart-type.
3. En moyenne, son nombre d'heures par jour passées à faire ses devoirs s'écarte d'environ 1\text{,}1 h de la moyenne.
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Solution
- On vérifie qu'elle n'a oublié aucun des 30 jours de septembre.
- \overline { x } = \dfrac { 6 + 11 \times 2 + 8 \times 3 + 2 \times 4 } { 30 } = 2
En moyenne, elle a passé 2 h par jour à faire ses devoirs en septembre. - \sigma = \sqrt { \dfrac { 3 ( 0 - 2 ) ^ { 2 } + 6 ( 1 - 2 ) ^ { 2 } + 8 ( 3 - 2 ) ^ { 2 } + 2 ( 4 - 2 ) ^ { 2 } } { 30 } } \approx 1\text{,}1
L'écart-type de la série est environ égal à 1\text{,}1.
Pour s'entraîner
Exercices ; ; et p. 281
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Calculer des indicateurs à la calculatrice et comparer des séries
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Énoncé
Igor a aussi effectué ce recueil de données le concernant. Déterminer les mêmes indicateurs à l'aide du mode stats de la calculatrice et comparer le temps de travail hebdomadaire des deux lycéens.
| Heures par jour | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Effectif | 9 | 7 | 2 | 3 | 5 | 4 |
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1. Il faut éditer deux listes dans le mode stats de la calculatrice, puis demander le calcul d'une série à une variable avec la 2e liste comme fréquence.
2. L'écart-type indique l'écart moyen avec la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.
2. L'écart-type indique l'écart moyen avec la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.
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Solution
- On lit sur l'écran de la calculatrice que la moyenne est égale à 2 et que l'écart-type est environ égal à 1\text{,}8.
- Les deux moyennes étant égales (2 h par jour), Inès et Igor fournissent donc une quantité de travail similaire à l'échelle d'un mois.
- Comme l'écart-type de la série d'Igor est plus important que celui d'Inès, cela signifie que les valeurs de sa série sont plus dispersées.
- Le temps de travail hebdomadaire d'Igor s'éloigne plus souvent de la moyenne par jour, en positif ou en négatif. Il travaille de façon moins régulière.
Pour s'entraîner
Exercices ; et p. 281
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