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COURS 2


2
Moyenne et écart-type




Application et méthode


Méthode

1. On additionne tous les effectifs et on obtient 30.30.
2. On n’additionne pas les heures égales à 00 dans le calcul de la moyenne, ni les écarts entre 22 et 22 dans l’écart-type.
3. En moyenne, son nombre d’heures par jour passées à faire ses devoirs s’écarte d’environ 1,11\text{,}1 h de la moyenne.

Calculer la moyenne pondérée et l’écart-type

Inès a compté le nombre d’heures par jour qu’elle a passé à faire ses devoirs au mois de septembre. Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série.

 Heures par jour 0 1 2 3 4
 Effectif 3 6 11 8 2

SOLUTION

  • On vérifie qu’elle n’a oublié aucun des 30 jours de septembre.

  • x=6+11×2+8×3+2×430=2\overline { x } = \dfrac { 6 + 11 \times 2 + 8 \times 3 + 2 \times 4 } { 30 } = 2
    En moyenne, elle a passé 22 h par jour à faire ses devoirs en septembre.

  • σ=3(02)2+6(12)2+8(32)2+2(42)2301,1\sigma = \sqrt { \dfrac { 3 ( 0 - 2 ) ^ { 2 } + 6 ( 1 - 2 ) ^ { 2 } + 8 ( 3 - 2 ) ^ { 2 } + 2 ( 4 - 2 ) ^ { 2 } } { 30 } } \approx 1\text{,}1
    L’écart-type de la série est environ égal à 1,1.1\text{,}1.


Pour s'entraîner : exercices 20 ; 21 ; 22 et 27 p. 281

On considère ici la série statistique donnée par le tableau ci-dessous et on note N=n1+n2++np\mathrm { N } = n _ { 1 } + n _ { 2 } + \ldots + n _ { p } l’effectif total.

 Valeur x1x _ { 1 } x2x _ { 2 } ... xpx _ { p }
 Effectif n1n _ { 1 } n2n _ { 2 } ... npn _ { p }

B
L’écart-type : un indicateur de dispersion

Remarque

Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.

Exemple

On reprend l’exemple de la partie A.

σ=(812,1)2+3(912,1)2+5(1112,1)2+5(1212,1)2+2(1412,1)2+4(1612,1)2202,4\begin{aligned} \sigma & = \sqrt { \dfrac { ( 8 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 3 ( 9 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 5 ( 11 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 5 ( 12 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 2 ( 14 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } + 4 ( 16 - 12\text{,}1 ) ^ { 2 } } { 20 } } & \approx 2\text{,}4 \end{aligned}
En moyenne, le nombre d’appels par jour s’écarte de 2,42\text{,}4 par rapport à x.\overline { x }.

Remarque

Le calcul de l’écart-type se fait généralement à la calculatrice.

Définition

L’écart-type d’une série de valeurs {xi}1ip,\left\{ x _ { i } \right\} _ { 1 \leqslant i \leqslant p }, est le nombre positif, noté σ,\sigma, défini par :

σ=n1(x1x)2+n2(x2x)2++np(xpx)2N.\sigma = \sqrt { \dfrac { n _ { 1 } \left( x _ { 1 } - \overline { x } \right) ^ { 2 } + n _ { 2 } \left( x _ { 2 } - \overline { x } \right) ^ { 2 } + \ldots + n _ { p } \left( x _ { p } - \overline { x } \right) ^ { 2 } } { \mathrm { N } } }.


Calculer des indicateurs à la calculatrice et comparer des séries

Igor a aussi effectué ce recueil de données le concernant. Déterminer les mêmes indicateurs à l’aide du mode stats de la calculatrice et comparer le temps de travail hebdomadaire des deux lycéens.

 Heures par jour 0 1 2 3 4 5
 Effectif 9 7 2 3 5 4

SOLUTION

Moyenne et  écart-type - Statistiques descriptives
  • On lit sur l’écran de la calculatrice que la moyenne est égale à 22 et que l’écart-type est environ égal à 1,8.1\text{,}8.
  • Les deux moyennes étant égales (22 h par jour), Inès et Igor fournissent donc une quantité de travail similaire à l’échelle d’un mois.
  • Comme l’écart-type de la série d’Igor est plus important que celui d’Inès, cela signifie que les valeurs de sa série sont plus dispersées.
  • Le temps de travail hebdomadaire d’Igor s’éloigne plus souvent de la moyenne par jour, en positif ou en négatif. Il travaille de façon moins régulière.


Pour s'entraîner : exercices 23 ; 24 et 25 p. 281

Méthode

1. Il faut éditer deux listes dans le mode stats de la calculatrice, puis demander le calcul d’une série à une variable avec la 2e liste comme fréquence.
2. L'écart-type indique l'écart moyen avec la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.

A
La moyenne pondérée : indicateur de tendance centrale

Remarques

1. On peut factoriser les termes en anixia n _ { i } x _ { i } par a.a.

2. n1++npN=1 \dfrac { n _ { 1 } + \ldots + n _ { p } } { \mathrm { N } } = 1 car n1++np=N.n _ { 1 } + \ldots + n _ { p } = \mathrm { N }.

Propriété

Soient aa et bb deux nombres réels.
Si une série de valeurs {xi}1ip\left\{ x _ { i } \right\} _ { 1 \leqslant i \leqslant p } a pour moyenne x,\overline { x }, alors la série de valeurs {axi+b}1in\left\{ a x _ { i } + b \right\} _ { 1 \leqslant i \leqslant n } a pour moyenne ax+b.a \overline { x } + b.

Définition

La moyenne pondérée de la série ci-dessus est le nombre, noté x,\overline { x }, tel que :

x=n1x1+n2x2++npxpN.\overline { x } = \dfrac { n _ { 1 } x _ { 1 } + n _ { 2 } x _ { 2 } + \ldots + n _ { p } x _ { p } } { \mathrm { N } }.

Exemple

Nombre d’appels reçus par jour par un standardiste pendant 20 jours :

 Nombre d’appels 8 9 11 12 14 16
 Effectif 1 3 5 5 2 4


x=8+9×3+11×5+12×5+14×2+16×420=12,1\overline { x } = \dfrac { 8 + 9 \times 3 + 11 \times 5 + 12 \times 5 + 14 \times 2 + 16 \times 4 } { 20 } = 12\text{,}1

En moyenne, ce standardiste reçoit 12,112\text{,}1 appels par jour.

DÉMONSTRATION

Calculons la moyenne de la série de valeurs axi+b:a x _ { i } + b \: :

n1(ax1+b)++np(axp+b)N=n1ax1+n1b++npaxp+npbN=an1x1++anpxpN+n1b++npbN=an1x1++npxpN+bn1++npN=ax+b\begin{array} { l } { \dfrac { n _ { 1 } \left( a x _ { 1 } + b \right) + \ldots + n _ { p } \left( a x _ { p } + b \right) } { \mathrm { N } }} \\\\ {= \dfrac { n _ { 1 } a x _ { 1 } + n _ { 1 } b + \ldots + n _ { p } a x _ { p } + n _ { p } b } { \mathrm { N } } } \\\\ { = \dfrac { a n _ { 1 } x _ { 1 } + \ldots + a n _ { p } x _ { p } } { \mathrm { N } } + \dfrac { n _ { 1 } b + \ldots + n _ { p } b } { \mathrm { N } } } \\\\ { = a \dfrac { n _ { 1 } x _ { 1 } + \ldots + n _ { p } x _ { p } } { \mathrm { N } } + b \dfrac { n _ { 1 } + \ldots + n _ { p } } { \mathrm { N } } } \\\\ {= a \overline { x } + b } \end{array}
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