Modélisation d'interactions fondamentales

Déjà dans l'Antiquité, on savait qu'en frottant un morceau d'ambre avec de la fourrure ou de la laine, il pouvait attirer à lui des objets légers. Cette attraction a pour origine les propriétés électriques de la matière.

Selon les matières mises en jeu, une attraction ou une répulsion peuvent être observées. Il existe deux caractères électriques, liés à deux types de charges électriques : positive et négative.

Des charges de même signe se repoussent alors que des charges de signes opposés s'attirent (doc. 2).

Toute charge est égale à un multiple de la charge élémentaire $e=$ 1,602 $\times$ 10^-19 C. L'unité du système international de la charge est le coulomb, noté C :

• un électron porte une charge de $-e$ et un proton une charge de $+e$ ;
• la cohésion de la matière est assurée par les charges des particules qui la constituent, même si la matière est lacunaire.

Cette table permet de déterminer le matériau qui cède et celui qui reçoit les électrons lors d'une électrisation par frottement entre eux

1. Électrisation par frottement
Lors du frottement entre l'ambre et la laine, la laine donne certains de ses électrons à l'ambre. Les deux matériaux sont ici électrisés par frottement, l'ambre devient électriquement négatif et la laine électriquement positive.

2. Électrisation par contact
Un objet chargé électriquement, mis en contact avec un objet neutre, lui transfère une partie de sa charge (doc. 3). Si le matériau est :

• conducteur, alors la charge se répartit sur toute sa surface ;
• isolant, alors la charge reste au niveau de la zone de contact.

3. Électrisation par influence
Lorsque l'on approche un objet chargé :

• d'un matériau conducteur : la répartition des charges est modifiée dans le conducteur ;
• d'une substance dipolaire : les dipôles s'orientent dans le sens du champ électrostatique créé par l'objet (doc. 4).

• Charge électrique : propriété de la matière lui permettant d'interagir avec un champ électromagnétique.

Au XVIII^e siècle, Charles-Augustin Coulomb (1736-1806) effectue des mesures de forces électrostatiques sur des sphères chargées à l'aide d'une balance de torsion.

Il démontre que la valeur de cette force $F_{\mathrm{e}}$ est proportionnelle aux charges électriques mises en jeu, et proportionnelle à l'inverse du carré de la distance séparant le centre des sphères :

Soit deux objets $\text{A}$ et $\text{B}$ qui agissent de manière réciproque l'un sur l'autre : $\text{A}$ agit sur $\text{B}$ et $\text{B}$ agit sur $\text{A}$, on dit alors que ces objets sont en interaction.

Chaque action est modélisée par une force, elle-même représentée par un vecteur portant quatre caractéristiques : un sens, une direction, une intensité et un point d'application (doc. 5).

Tous les corps qui ont une masse s'attirent les uns les autres : ce phénomène est appelé gravitation. Ces actions sont réciproques, on parle donc d'interaction gravitationnelle.

La force modélisant ces actions est appelée force d'attraction gravitationnelle, elle est décrite par la relation :

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{g}}(\mathrm{A}/\mathrm{B})=-G\cdot \frac{m_{\mathrm{A}}\cdot m_{\mathrm{B}}}{d^2}{\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\mathrm{r}}$

avec $G$ la constante universelle de la gravitation ($G=$ 6,67 $\times$ 10^-11 N·kg^-2·m²), $m_{\text{A}}$ et $m_{\text{B}}$ les masses (en kg) des corps $\text{A}$ et $\text{B}$, et $d$ la distance entre $\text{A}$ et $\text{B}$ exprimée en mètre (m).

${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{r}}$ est le vecteur unitaire porté par la droite $\text{(AB)}$, orienté de $\text{A}$ vers $\text{B.}$

L'intensité de la force gravitationnelle est égale à la valeur absolue de la force précédente : $F_{\mathrm{g}}=G\cdot \frac{m_{\mathrm{A}}\cdot m_{\mathrm{B}}}{d^2}$.

On remarque que l'action gravitationnelle d'un corps $\text{A}$ sur un corps $\text{B}$ est de même intensité que celle du corps $\text{B}$ sur le corps $\text{A.}$ Ainsi, la Terre attire autant à elle la Lune que la Lune attire à elle la Terre.

➜ Attention au référentiel choisi ! Habituellement, l'origine du repère spatial est prise au centre du corps de masse la plus grande.
Par exemple, lors de l'étude de l'interaction gravitationnelle entre le Soleil et la Terre, on se place généralement dans le référentiel héliocentrique, donc :

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{g}}(\text{Soleil/Terre})=-G\cdot \frac{m_{\text{Soleil}}\cdot m_{\text{Terre}}}{d^2}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{r}}$

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{g}}(\text{Terre}/\text{Soleil})=G\cdot \frac{m_{\text{Soleil}}\cdot m_{\text{Terre}}}{d^2}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{r}}$

avec ${\overrightarrow{e}}_{\text{r}}$ vecteur unitaire orienté du Soleil vers la Terre.

John Cavendish (1732-1796), avec 4 masses, un fil, un miroir et un rayon lumineux, a mesuré la constante de gravité $G$ avec une remarquable précision.

Tous les corps possédant une charge électrique s'attirent ou se repoussent de manière réciproque.

La force modélisant ces actions est appelée force électrostatique, elle est décrite par la relation :

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{e}}(\mathrm{A}/\mathrm{B})=k\cdot \frac{q_{\mathrm{A}}\cdot q_{\mathrm{B}}}{d^2}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{r}}$

avec $k=$ 8,99 $\times$ 10⁹ N·m²·C^-2, $q_{\text{A}}$ et $q_{\text{B}}$ les valeurs des charges électriques portées respectivement par les corps $\text{A}$ et $\text{B}$ et exprimées en coulomb (C), et d la distance entre $\text{A}$ et $\text{B}$ exprimée en mètre (m).

L'intensité de cette force est égale à la valeur absolue de la relation précédente : $F_{\mathrm{e}}(\mathrm{A}/\mathrm{B})=k\cdot \frac{|q_{\mathrm{A}}\cdot q_{\mathrm{B}}|}{d^2}$.
On remarque ici aussi que l'action électrostatique d'un corps $\text{A}$ sur un corps $\text{B}$ est de même intensité que celle du corps $\text{B}$ sur le corps $\text{A}$ (doc. 7).

➜ Attention à bien vérifier le signe des charges, cela a une conséquence directe sur l'orientation des forces mises en jeu !

1. Généralités
Un champ représente la cartographie dans l'espace d'une grandeur physique.

On définit deux types de champs :

• les champs scalaires dont la grandeur cartographiée est scalaire, par exemple les champs de température et de pression ;
• les champs vectoriels dont la grandeur cartographiée est vectorielle, par exemple les champs de vitesse (vent), gravitationnel et électrostatique (doc. 8).

2. Étude d'un champ vectoriel
Pour dessiner un champ vectoriel, on représente dans l'espace les vecteurs des grandeurs qui nous intéressent.

Afin de mieux visualiser un champ vectoriel, on trace les lignes de champ. Ce sont les courbes qui suivent les vecteurs en respectant leur direction : elles sont tangentes en tout point au vecteur du champ.

Plus les lignes de champ sont proches les unes des autres, plus le champ est intense dans la zone considérée.

• Champ : cartographie des valeurs d'une grandeur dans l'espace.

Tous les corps ayant une masse s'attirent les uns les autres.
Afin de décrire l'action gravitationnelle d'une masse en particulier dans une zone spatiale donnée, on fixe une masse et on représente le champ gravitationnel qu'elle crée.

La valeur du champ gravitationnel créé par une masse $m$ peut être déterminée à partir de la relation $\overrightarrow{\mathcal{G}}=G\cdot \frac{m}{d^2}{\overrightarrow{e}}_{\text{r}}$ $G$ est la constante universelle de la gravitation ($G=$ 6,67 $\times$ 10^-11 N·kg^-2·m²).

On appelle couramment « champ de pesanteur terrestre », le champ gravitationnel de la Terre à sa surface (doc. 9).

Tous les objets portant une charge repoussent ou attirent tous les autres objets portant une charge électrique.
Afin de décrire l'action électrostatique d'une charge électrique dans une zone spatiale donnée, on se place du point de vue de cette charge et on représente le champ électrostatique créé (doc. 10).

La valeur du champ électrostatique créé par une charge $q$ en un point peut être déterminée à partir de la relation vectorielle :
$\overrightarrow{E}=k\cdot \frac{q}{d^2}{\overrightarrow{e}}_{\text{r}}$ où $k=$ 9,0 $\times$ 10⁹ N·m²·C^-2.

➜ L'unité d'un champ dépend de la grandeur cartographiée :

• l'unité de $\mathcal{G}$ est le newton par kilogramme N·kg^-1 ou en m·s^‑2 ;
• l'unité de $E$ est le newton par coulomb N·C^-1 ou en V·m^-1.