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Les mathématiques décrivent-elles le réel ?
P.146-149

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Réflexion 2


Les mathématiques décrivent-elles le réel ?





XXe siècle

Albert Einstein

Einstein


Texte 6
La géométrie ne se rapporte pas au réel
 ◉ ◉

La géométrie n’est ni vraie ni fausse, car son discours ne s’intéresse pas au réel, mais cherche seulement à être conforme à la logique.

 La géométrie part de certaines notions fondamentales telles que le point, la droite, le plan, auxquelles nous sommes capables d’associer des représentations plus ou moins claires, et de certaines propositions simples (axiomes), que nous sommes disposés à regarder, en vertu de ces représentations, comme « vraies ».

 Toutes les autres propositions sont ensuite ramenées, au moyen d’une méthode logique dont nous nous sentons forcés de reconnaître la légitimité, aux axiomes, c’est-à-dire démontrées. Une proposition est, par conséquent, exacte ou « vraie », si elle est déduite des axiomes de la manière généralement admise. La question de savoir si telle ou telle proposition géométrique est « vraie » se ramène, par conséquent, à la question de savoir si les axiomes sont « vrais ».a

 Mais on sait depuis longtemps que non seulement on ne peut répondre à cette dernière question au moyen des méthodes de la géométrie, mais qu’elle n’a en ellemême aucun sens. On ne peut pas demander s’il est vrai que par deux points il ne passe qu’une seule droite. On peut seulement dire que la Géométrie euclidienne traite de figures qu’elle appelle « droites » et auxquelles elle attribue la propriété d’être déterminées d’une manière univoque par deux de ses points. La notion de « vrai » ne s’applique pas aux énoncés de la géométrie pure, car par le terme « vrai » nous désignons, en dernier ressort, toujours la concordance avec un objet « réel ». Or, la Géométrie ne s’occupe pas du rapport entre ses notions et les objets de l’expérience, mais seulement du rapport logique de ces notions entre elles.

Albert Einstein, La relativité, 1956, trad. M. Solovine, © Éditions Payot, 2001

Aide à la lecture

a.
Les axiomes sont des bases admises. Kurt Gödel a établi qu’ils étaient indémontrables (voir la précision ci‑dessous).

► Repères

Question

Dans quelle mesure la géométrie repose-t-elle sur des conventions ?
Voir les réponses

Précision

Les axiomes sont-ils démontrables ?

Les théorèmes de l’incomplétude de Kurt Gödel1 (1931) stipulent qu’une théorie mathématique – et peut-être plus généralement scientifique – ne peut pas démontrer les propositions sur lesquelles elle repose, en particulier ses axiomes. Les mathématiques s’appuient nécessairement sur des principes indémontrables.

Selon Gödel, tout système qui permet de dénombrer – c’est-à-dire de compter le nombre d’éléments que comporte un ensemble – ne peut maintenir sa cohérence qu’au prix de l’incomplétude. L’incomplétude du système signifie que ce dernier comporte des énoncés dits indécidables. La conjecture de Goldbach est un exemple d’énoncé indécidable : « Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. » Cet énoncé est vérifié pour un grand nombre d’entiers, mais il n’est toutefois ni démontrable, ni réfutable.

Note de bas de page

1.
Mathématicien (1906-1978) qui a révolutionné la compréhension des fondements logiques des mathématiques.

William Blake, Newton, 1795

Texte complémentaire

La recherche du conjoint idéal est-elle mathématisable ?

 Ces partenaires potentiels sont là, quelque part dans le monde, ils attendent que vous les découvriez. […] La grande question est de savoir comment choisir le meilleur conjoint sur cette liste virtuelle sans savoir le moins du monde ce que l’avenir vous réserve.

 Supposons un instant que les règles du jeu de l’amour soient très simples : une fois que vous avez décidé de vous engager, vous ne pouvez plus connaître les partenaires futurs que vous auriez pu rencontrer si vous aviez continué à chercher ; de même, une fois que vous avez rejeté un candidat, vous ne pouvez plus revenir sur votre décision. […]

 Lorsque la situation est formulée de la sorte, un domaine des mathématiques appelé « théorie de l’arrêt optimal » peut fournir la meilleure stratégie possible dans la chasse à l’élu. […]

 Passez un peu de temps à reconnaître le terrain quand vous êtes jeune et rejetez tous les conjoints potentiels tant que vous n’avez pas une bonne connaissance du marché. Une fois cette phase passée, choisissez la prochaine personne que vous jugerez supérieure à toutes celles que vous aurez rencontrées précédemment.

 La théorie de l’arrêt1 optimal va encore plus loin. Il se trouve que la probabilité que vous choisissiez le meilleur conjoint possible (’P(r)’ dans l’équation suivante) est liée au nombre de partenaires rejetés a priori (r) parmi les conjoints potentiels (n) que vous étiez destiné à rencontrer, dans une formule très élégante [voir ci-dessous].

 Cette formule, aussi innocente qu’elle paraisse, a le pouvoir de vous donner le nombre exact de partenaires que vous devez rejeter pour avoir la meilleure chance de choisir le conjoint parfait par la suite.

 Elle vous dit que si vous êtes destiné à rencontrer 10 partenaires dans votre vie, vous devez rejeter les 4 premiers pour avoir la plus haute probabilité de tomber sur l’élu parmi les candidats restants. […]

 Après tout, c’est ça, les mathématiques : tirer du monde réel des abstractions qui nous aident à découvrir modèles et relations cachés derrières des objets cafouilleux en réalité, comme le sont les émotions.

Hannah Fry, Les mathématiques de l’amour, 2015, Marabout, 2016.


Note de bas de page

1.
Le problème de l’arrêt consiste à tenter d’optimiser le moment où un programme informatique s’arrête. Toutefois, le calcul du moment optimal pour s’arrêter demande une connaissance qui dépasse le moment de l’arrêt : on ne sait qu’on a atteint l’optimum qu’après l’avoir dépassé. Il faudrait une puissance de calcul infinie pour optimiser cet arrêt ; c’est pourquoi ce problème est indécidable, ainsi que l’a montré Alan Turing en 1936.
Alan Turing, théorie de l'arrêt

Où P(r) est la probabilité de trouver le meilleur partenaire possible au moment où l’on s’arrête de chercher.
r : le nombre de partenaires rejetés.
n : le nombre de partenaires potentiels rencontrés au cours d’une vie

Activité

1
Si vous tentez de décrire la trajectoire de chaque élève lorsqu’il se rend à la cafétéria ou sort du lycée, pensez‑vous parvenir à une description efficace des faits à l’aide d’équations ?
2
Que manque‑t‑il à cette description mathématique ?
3
Quelles limites pouvons‑nous trouver aux théories qui se proposent d’optimiser la vie humaine à l’aide de formules mathématiques ?
Voir les réponses

XVIIe siècle

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz

Retrouvez ici sa biographie.

Texte 7
Les mathématiques produisent des vérités nécessaires
◉ ◉ ◉

Leibniz explique la différence entre vérité générale et vérité universelle : les vérités mathématiques ne dépendent pas de l’expérience, c’est pourquoi elles sont « nécessaires » et « éternelles ». Cet extrait permet de comprendre que les mathématiques ne se rapportent pas au réel de la même façon que le font les sciences appliquées.

 D’où il naît une autre question : si toutes les vérités dépendent de l’expérience, c’est-à-dire de l’induction et des exemples, ou s’il y en a qui ont encore un autre fondement1 . Car si quelques événements se peuvent prévoir avant toute épreuve2 qu’on en ait faite, il est manifeste que nous y contribuons quelque chose de notre part. Les sens quoique nécessaires pour toutes nos connaissances actuelles, ne sont point suffisants pour nous les donner toutes, puisque les sens ne donnent jamais que des exemplesa, c’est-à-dire des vérités particulières ou individuelles. Or tous les exemples qui confirment une vérité générale, de quelque nombre qu’ils soient, ne suffisent pas pour établir la nécessité universelle de cette même vérité, car il ne suit point que ce qui est arrivé arrivera de même. Par exemple les Grecs et les Romains et tous les autres peuples de la terre connue aux anciens ont toujours remarqué qu’avant le décours de 24 heures, le jour se change en nuit, et la nuit en jour. Mais on se serait trompé si l’on avait cru que la même règle s’observe partout ailleurs, puisque depuis on a expérimenté le contraire dans le séjour de Nova Zembla3. Et celui-là se tromperait encore qui croirait que, dans nos climats au moins, c’est une vérité nécessaire et éternelle qui durera toujours, puisqu’on doit juger que la Terre et le Soleil même n’existent pas nécessairement, et qu’il y aura peut-être un temps où ce bel astre ne sera plus, au moins dans la présente forme, ni tout son système. D’où il paraît que les vérités nécessaires, telles qu’on les trouve dans les mathématiques pures et particulièrement dans l’arithmétique et la géométrie, doivent avoir des principes dont la preuve ne dépende pas des exemples, ni par conséquent du témoignage des sens, quoique sans les sens, on se serait jamais avisé d’y penserb. C’est ce qu’il faut bien distinguer, et c’est ce qu’Euclide a si bien compris, qui démontre souvent par la raison ce qui se voit assez par l’expérience et les images sensibles. La logique encore avec la métaphysique et la morale, dont l’une forme la théologie et l’autre la jurisprudence, naturelles toutes deux, sont pleines de telles vérités, et par conséquent leur preuve ne peut venir que des principes internes qu’on appelle innés.

Gottfried Wilhelm Leibniz, Nouveaux essais sur l’entendement humain, 1704, © Flammarion, 1990.

Aide à la lecture

a.
Les sens donnent des « exemples » et non des preuves : le témoignage qu’ils donnent ne permet pas de bâtir des démonstrations.
b. Les sens ne sont pas discrédités : ils servent de signal et invitent à penser. Toutefois, en eux-mêmes, ils ne permettent pas de démontrer quoi que ce soit.

Notes de bas de page

1.
Le fondement est la chose sur laquelle repose un élément (ici, les vérités).
2. Épreuve signifie ici expérience ou observation (donc, par les sens).
3. Archipel au nord de la Russie, où la nuit dure plusieurs mois, ainsi que le jour.

► Repères

  • Universel /Général / Particulier / Singulier p. 275
  • Exemple /Preuve p. 159

Question

Une vérité universelle est-elle plus certaine qu’une vérité générale ? Justifiez.
Voir les réponses

Commentaire

Dans le texte ci-contre, Leibniz oppose deux types de vérités : selon lui, celles qui reposent sur des principes logiques, comme les mathématiques, seraient tout à fait indépendantes du monde sensible. Les mathématiques ne décrivent donc pas le réel au sens des choses perçues. L’être humain s’appuie sur les mathématiques pour constituer d’autres sciences (par exemple, la physique) qui, elles, lui permettent de décrire le réel.

L’induction, qui permet d’établir une loi à partir de l’observation expérimentale d’une série de relations entre des phénomènes, n’est jamais aussi certaine qu’une vérité de la raison qui ne doit rien à l’observation des phénomènes.

Le réel connaît de grandes variations ; rien de réel ne peut donc être éternel et nécessaire. Ainsi, le soleil disparaîtra un jour, et prétendre que la planète Terre connaîtra éternellement l’alternance entre le jour et la nuit constitue une aberration logique.

Si la géométrie ou les mathématiques établissaient leurs principes sur des exemples (donc sur le réel), elles seraient donc aussi douteuses que l’induction peut l’être.

Au contraire, les sciences pures doivent démontrer et non induire, comme l’a fait Euclide avec les principes de sa géométrie. Leibniz indique que la métaphysique et la morale ne tirent pas non plus leurs principes de l’observation du réel, mais de principes internes donc innés.

L’exemple d’Euclide, pris par Leibniz, est cependant contestable. La géométrie d’Euclide dans le livre I des Éléments repose sur cinq axiomes (propositions admises sans démonstration), dont le cinquième est appelé « postulat des parallèles » : « soient une droite et un point A qui lui est extérieur, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite passant par A. »

Il s’agit ici d’une vérité éternelle. Cependant, ce postulat n’est qu’une convention. Deux géométries non euclidiennes vont naître de la négation de ce postulat : une géométrie hyperbolique et une géométrie elliptique. Cela montre qu’il existe des géométries cohérentes et dont les lois, qui émanent des axiomes, sont différentes de la géométrie considérée, un peu trop vite, comme la seule conforme au réel.

Fondements des sciences

Débat

Postuler permet-il de connaître ?

La science ne démontre pas ses premiers principes, soit parce qu’ils sont clairs et distincts, soit qu’il est impossible de démontrer les axiomes intégralement. Elle semble alors être un géant aux pieds d’argile.
  • Question : En quoi le fait d’admettre des postulats peut-il empêcher la découverte scientifique ?
  • Objectifs :
    • Mettre au jour la différence de méthode entre science appliquée et science théorique
    • Comparer la méthode de démonstration par induction et par déduction (voir le glossaire)
    • Rappeler le problème de l’induction vu en début de chapitre
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