Cardinal d'ensembles

Soit \text{A} un ensemble fini.
Le cardinal de \text{A}, noté \operatorname{Card}(\mathrm{A}), est le nombre d'éléments de l'ensemble \text{A}.

Le cardinal de \text{A} est parfois noté \text{|A|} ou \# \mathrm{A}.

Deux ensembles \text{A} et \text{B} sont disjoints lorsque \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\varnothing.

En particulier \operatorname{Card}(\varnothing)=0.

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et \mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, …, \mathrm{A}_{n} des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :
\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}\right)=\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1}\right)+\ldots+\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{n}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{k}\right).

En particulier, si \text A_{1}et \text A_{2} sont deux ensembles finis et disjoints, \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1} \cup \mathrm{A}_{2}\right) =\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{1}\right) +\operatorname{Card}\left(\mathrm{A}_{2}\right).

Soient \text{A} et\text{ B} deux ensembles non vides. Le produit cartésien de \text{A} et\text{ B} est l'ensemble, noté \text{A} \times \text{B} (se lit « \text{A} croix \text{B} »), constitué des couples (x\,; y) où x est un élément de \text{A} et y un élément de \text{B}.
Plus formellement, \mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(x\,; y), x \in \mathrm{A}, y \in \mathrm{B}\}.

Cette définition se généralise à plus de deux ensembles non vides.

Pour \mathrm{A}=\{1 \,; 2\} \text { et } \mathrm{B}=\{3 \,; 4\}, on a \mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(1\,; 3) \,;(1 \,; 4) \,;(2 \,; 3) \,;(2 \,; 4)\}.

Si \text{A}=\varnothing ou \text{B}=\varnothingalors \text{A}\times \text{B}=\varnothing.

Soient \text{A} un ensemble et n un entier naturel non nul. On appelle \boldsymbol{n}-uplet de \text{A} un élément de \text{A}^{n}.

Le produit cartésien de \text{A} par lui-même est noté \mathrm{A}^{2}. Plus généralement, le produit de \text{A} par lui‑même n fois, avec n > 1, se note \mathrm{A}^{n}.

Soient \text{A} un ensemble fini et n un entier naturel non nul.
Alors : \operatorname{Card}\left(\mathrm{A}^{n}\right)=[\operatorname{Card}(\mathrm{A})]^{n}.

Les coordonnées d'un point dans un repère du plan sont des 2‑uplets de nombres réels.

Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d'une lettre sélectionnée parmi les lettres \text{A}, \text{B} et \text{C}. Combien de codes peut-on former avec ce système ?

Dans un énoncé, un « OU » se traduit très souvent par une réunion (disjointe ou non). On sépare les cas de l'énoncé en plusieurs ensembles disjoints :

• pour chaque ensemble formé, on calcule son cardinal ;
• on calcule la somme des cardinaux ainsi obtenus pour obtenir le cardinal total.