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Lunette astronomique
P.574-575

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SUJET BAC GUIDÉ


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Lunette astronomique




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La lunette a été inventée en Europe à la fin du XVIe siècle. Elle a connu un rapide succès en étant utilisée comme longue‑vue. En 1609, Galilée fut le premier scientifique à utiliser la lunette pour observer le ciel. Il construisit et perfectionna ses propres lunettes, ce qui lui permit de faire de nombreuses découvertes comme quatre des satellites de Jupiter ainsi que la rotation du Soleil sur lui‑même.

Doc. 1
Composants de la lunette astronomique

croquis d'une lunette astronomique

La lunette astronomique se compose d’un objectif de grande distance focale, qui crée une image intermédiaire des objets lointains, et d’un oculaire de courte distance focale qui renvoie une image à l'infini.

Le doc. 3 (⇩) présente le schéma optique d’une telle lunette où l’objectif et l’oculaire sont modélisés par deux lentilles minces L1\text{L}_1 et L2\text{L}_2.

La lunette est dite afocale : le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire, de sorte que l’image d’un objet à l’infini se situe également à l’infini.

Doc. 2
Vergence d’une lentille

La vergence d’une lentille, usuellement notée VV, est définie par :
V=1fV=\dfrac{1}{f^{\prime}}
VV : vergence (δ\mathrm{\delta})
ff' : distance focale (m)

Doc. 3
Schéma optique d’une lunette astronomique

schéma optique d'une lunette astronomique

Le schéma optique ci‑dessus représente une lunette astronomique avec deux rayons incidents provenant d’un objet lointain AB\text{AB}. On ne considère que les rayons parallèles provenant de B\text{B}, faisant un angle α\alpha avec l’axe optique.

Données

  • Distance focale de l’objectif : f1=30f'_1 = 30 cm
  • Vergence de l’oculaire : V2=10δV_2 = 10 \: \mathrm{\delta}

Questions

1. Éléments de la lunette

1.1 Calculer la distance focale f2f'_2 de l’oculaire.


1.2 Justifier que L1\text{L}_1 et L2\text{L}_2 sont respectivement l'objectif et l'oculaire.


2. Position de l'image intermédiaire

L’extrémité B\text{B} d’un objet lointain émet des rayons parallèles faisant un angle α\alpha avec l’axe optique. L’objectif forme une image intermédiaire AB\text{A}'\text{B}' de cet objet.

2.1 Justifier que l’oculaire donne une image située à l’infini.


2.2 Zoomer sur l'image et cliquer sur le pinceau pour afficher l'outil de dessin pour pouvoir modifier le schéma. Représenter le trajet des deux rayons lumineux. Faire figurer AB\text{A}'\text{B}' sur le schéma.
schéma optique d'une lunette astronomique
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Coups de pouce

1.1 Utiliser la relation entre vergence et distance focale.

1.2 Comparer les distances focales.

1.3 Tenir compte de la position de l'image intermédiaire.

1.4 Tracer les rayons en tenant compte des règles de construction géométrique.

Doc. 4
Influence d'une ouverture

schéma de l'influence d'une ouverture
Lorsqu’un faisceau de lumière atteint une ouverture et que l'on place un écran à la suite, on observe une tache. Pour une ouverture circulaire, on l’appelle tache d’Airy, et son écart angulaire θ\theta est donné par :

θ=1,22 λa\theta=\dfrac{1{,}22  \lambda}{a}
aa : diamètre de l'ouverture (m)
λ\lambda : longueur d'onde (m)
θ\theta : écart angulaire (rad)

Doc. 5
Critère de Rayleigh

Le critère de Rayleigh permet d'évaluer la capacité d’un instrument optique à discerner les détails. Il stipule que deux objets sont discernables si l’écart angulaire φ\varphi qui les sépare est supérieur à l’écart angulaire θ\theta de la tache d’Airy formée par le système optique.

Critère de Rayleigh

Tache de gauche : φ>θ\varphi\gt\theta
Tache au centre : φ=θ\varphi =\theta
Tache de droite : φ<θ\varphi \lt \theta

Données

  • Diamètre de l'objectif : a=15a = 15 cm
  • Longueur d'onde à considérer : λ=560\lambda = 560 nm

Questions

L’image intermédiaire d’un point par l’objectif est une tache et non un point, ce qui limite la résolution de la lunette astronomique.

3. Résolution de la lunette

3.1 Nommer le phénomène mis en jeu.


3.2 Calculer l'écart angulaire minimal φmin\varphi _\text{min} séparant deux points pour que l'on puisse les distinguer.
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Coups de pouce

3.1. Il s’agit de l’un des phénomènes caractéristiques des ondes.

3.2 Utiliser le critère de Rayleigh.

Doc. 6
Grossissement

Grossissement
Le rapport entre les angles α\alpha et α\alpha' qu'un rayon fait avec l’axe optique en entrée et en sortie de la lunette afocale est constant. Ce rapport correspond au grossissement GG :
G=ααG=\dfrac{\alpha^{\prime}}{\alpha}

Dans le cas de petits angles exprimés en radian (rad), on peut faire l'approximation :
tan(θ)=θ\tan (\theta)=\theta

Données

  • Angle limite de l'observation de l’œil humain moyen : αlim=3,3×104\alpha_{\lim }=3{,}3 \times 10^{-4} rad
  • Distance Terre‑Lune : dT-L=3,8×108d_\text{T-L} = 3{,}8 \times 10^8 m

Questions

4. Grossissement de la lunette

3.1 Exprimer le grossissement GG en fonction de f1f'_1 et f2f'_2.


3.2 Toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiatives, même infructueuses, serait prise en compte à l'examen.
En observant la Lune depuis la Terre avec cette lunette, évaluer la possibilité de distinguer le drapeau américain posé en 1969.
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Coups de pouce

4.1. Utiliser une relation trigonométrique dans le triangle O1AB\text{O}_1\text{A}'\text{B}', puis dans le triangle ABO2\text{A}'\text{B}'\text{O}_2 ainsi que l’approximation des petits angles.

4.2 Estimer la taille du drapeau et calculer l'angle d'observation α\alpha à l'œil nu. Déterminer l'angle d'observation α\alpha' à travers la lunette et conclure.
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