Chapitre 15


Cours




3
Énergie mécanique d’un système


B
Conservation de l’énergie mécanique

Lorsqu’un système est soumis uniquement à des forces conservatives ou à des forces dont le travail est nul, alors son énergie mécanique se conserve. On peut écrire :
ΔEm(AB)=Em(B)Em(A)=0Em(B)=Em(A).\Delta E_{\text{m}}(\text{A} \rightarrow \text{B})=E_{\text{m}}(\text{B})-E_{\text{m}}(\text{A})=0 \Leftrightarrow E_{\text{m}}(\text{B})=E_{\text{m}}(\text{A}).

De plus, comme ΔEm(AB)=ΔEc(AB)+ΔEpp(AB)\Delta E_{\text{m}}(\text{A} \rightarrow \text{B})=\Delta E_{\text{c}}(\text{A} \rightarrow \text{B})+\Delta E_{\text{pp}}(\text{A} \rightarrow \text{B}),
on a : ΔEc(AB)=ΔEpp(AB).\Delta E_{\mathrm{c}}(\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B})=-\Delta E_{\mathrm{pp}}(\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}).
Dans le cas où l’énergie mécanique d’un système se conserve, alors toute l’énergie cinétique perdue est convertie en énergie potentielle et inversement (doc. 4).

Doc. 6
Service au tennis

 Service au tennis

Doc. 4
Oscillations non amorties

Oscillations non amorties
L’énergie mécanique se conserve, le mouvement se prolonge indéfiniment (cas idéal).

Application

En supposant les forces de frottement négligeables, utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour calculer l’altitude maximale atteinte par une balle de tennis lancée à la vitesse vAv_{\text{A}} verticalement depuis 2,02\text{,}0 m au-dessus du sol.
Corrigé : Comme les frottements de l’air sont négligés, la balle n’est soumise qu’à son poids. L’énergie mécanique de la balle se conserve. D’après le théorème de l’énergie cinétique, on a :
ΔEc(AB)=WAB(P)=mg(zAzB)\Delta E_{\mathrm{c}}(\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B})=W_{\mathrm{AB}}(\vec{P})=m \cdot g \cdot(\mathrm{z}_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}})
ΔEc(AB)=12mvB212mvA2=mg(zAzB).\Delta E_{\mathrm{c}}(\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B})=\dfrac{1}{2} m \cdot v_{\mathrm{B}}^{2}-\cfrac{1}{2} m \cdot v_{\mathrm{A}}^{2}=m \cdot g \cdot(z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}).
Or, vB=0v_{\text{B}} = 0 en haut de la trajectoire donc en simplifiant on trouve :
zB=zA+vA22g.z_{\mathrm{B}}=z_{\mathrm{A}}+\dfrac{v_{\mathrm{A}}^{2}}{2 g}.
AN : zB=2,0+7,022×9,81=4,5z_{\text{B}}=2\text{,}0+\dfrac{7\text{,}0^{2}}{2 \times 9\text{,}81}=4\text{,}5 m.

Doc. 3
Le pendule simple

Le pendule simple

Données

  • Masse de la balle de tennis : 5757 g ;
  • Vitesse initiale de la balle : vA=7,0v_{\text{A}} = 7\text{,}0 m·s-1 ;
  • Intensité du champ de pesanteur : g=9,81g = 9\text{,}81 N·kg‑1.

A
Définition de l’énergie potentielle de pesanteur

Dans un référentiel donné, on associe à un système plongé dans un champ de pesanteur une énergie mécanique notée EmE_{\mathrm{m}}, telle que :

Em=Ec+EppE_{\mathrm{m}}=E_{\mathrm{c}} + E_{\mathrm{pp}}

avec EmE_{\text{m}} : l’énergie mécanique en J ;
EcE_{\text{c}} : l’énergie cinétique en J ;
EppE_{\text{pp}} : l’énergie potentielle de pesanteur en J.

C
Non-conservation de l’énergie mécanique

Lorsqu’un système est soumis à des forces non conservatives qui travaillent, alors son énergie mécanique ne se conserve pas. On peut écrire :
ΔEm(AB)=Em(B)Em(A)=WAB(Fnc)\Delta E_{\text{m}}(\text{A} \rightarrow \text{B})=E_{\text{m}}(\text{B})-E_{\text{m}}(\text{A})=\sum W_{\text{AB}}(\vec{F}_{\text{nc}})

avec W(Fnc)\sum W(\vec{F}_{\text{nc}}) : la somme des travaux des forces non conservatives s’appliquant sur le système (frottements par exemple).

Dans le cas où l’énergie mécanique d’un système ne se conserve pas, alors l’énergie cinétique du système est partiellement convertie en énergie potentielle et inversement (doc. 5).

Doc. 5
Oscillations amorties

PC1.15.INF11_v1
L’énergie mécanique diminue au cours du temps à cause des frottements, le mouvement finit par s’arrêter (cas réel).

2
Énergie potentielle de pesanteur d’un système


C
Travail d’une force non conservative : exemple de la force de frottement

Lors d’un déplacement rectiligne de longueur AB\text{AB}, le travail de la force de frottement WAB(f)W_{\mathrm{AB}}(\vec{f}) est donné par la relation :
WAB(f)=fAB.W_{\text{AB}}(\vec{f})=\vec{f} \cdot \overrightarrow{\text{AB}}.

La force de frottement s’opposant généralement au mouvement du système, le travail s’écrit alors :
WAB(f)=fABcos(180)=fAB<0W_{\mathrm{AB}}(\vec{f})=f \cdot \mathrm{AB} \cdot \cos \left(180^{\circ}\right)=-f \cdot \mathrm{AB}\lt0 J.

Ce travail est résistant.

Le travail de la force de frottement dépend du chemin suivi. On parle dans ce cas de force non conservative.

B
Force conservative : l’exemple du poids

Tout corps de masse mm, placé dans un champ de pesanteur uniforme g\vec{g} est soumis à son propre poids P.\vec{P}. Lorsque l’objet se déplace d’un point A\text{A} à un point B\text{B}, le travail du poids s’exprime par la relation :
WAB(P)=PAB=PABcos(α).W_{\mathrm{AB}}(\vec{P})=\vec{P} \cdot \overrightarrow{\text{AB}}=P \cdot \text{AB} \cdot \cos (\alpha).


Exemple :
D’après le doc. 1, cos(α)=zAzBAB.\cos (\alpha)=\dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{B}}}{\text{AB}}.

Ainsi : WAB(P)=PABzAzBAB=P(zAzB)=mg(zAzB)W_{\mathrm{AB}}(\vec{P})=P \cdot \text{AB} \cdot \dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{B}}}{\text{AB}}=P \cdot(z_{\text{A}}-z_{\text{B}})=m \cdot g \cdot(z_{\text{A}}-z_{\text{B}})
avec WAB(P)W_{\mathrm{AB}}(\vec{P}) : le travail du poids en joule (J) ;
mm : la masse de l’objet en kilogramme (kg) ;
gg : l’intensité du champ de pesanteur (N·kg-1) ;
(zAzB)(z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}) : la différence d’altitude entre A\text{A} et B\text{B} repérés sur un axe (Ozz) vertical orienté vers le haut, en mètre (m).

Le travail du poids ne dépend que des altitudes de départ et d’arrivée, il ne dépend pas du chemin suivi par le système. On parle dans ce cas de force conservative.

Éviter les erreurs

Le produit scalaire : il est le produit de deux vecteurs mais c’est une valeur numérique. Attention à bien se relire pour vérifier que le symbole d’un produit scalaire n’est pas coiffé d’une flèche et qu’il a bien une unité associée !

A
Définition de l’énergie potentielle de pesanteur

Dans un référentiel donné, en orientant l’axe des altitudes vers le haut, l’énergie potentielle de pesanteur EppE_{\text{pp}} d’un système s’exprime par la relation :

Epp=mgzE_{\mathrm{pp}}=m \cdot g \cdot z

avec EppE_{\text{pp}} : l’énergie potentielle de pesanteur en joule (J) ;
mm : la masse du système en kilogramme (kg) ;
gg : l’intensité du champ de pesanteur (N·kg-1) ;
zz : l’altitude par rapport à la référence en mètre (m).

Éviter les erreurs

Il est impératif de définir une référence des altitudes avant de déterminer l’énergie potentielle de pesanteur. Pour une chute, il est commode de choisir le point le plus bas de la trajectoire (le sol en général) pour lequel z=z = 0.

Doc. 1
Travail et chemin parcouru

 Travail et chemin parcouru
Le poids P\vec{P} d’un enfant se déplaçant entre A\text{A} à B\text{B} sur le toboggan ne dépend pas du parcours dans ce toboggan. WAB(P)=PAB.W_{\mathrm{AB}}(\vec{P})=\vec{P} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

Doc. 2
Toboggan aquatique

Toboggan aquatique

1
Énergie cinétique d’un système


Pas de malentendu

Une force est dite constante lorsque sa valeur, son sens et sa direction ne varient pas au cours du temps.

Cas n° 4

Force exercée pendant la traction d'un véhicule
Angle quelconque, le travail est moteur (angle inférieur à 90°90°) :
WAB(F)=FAB=FABcos(30)>0W_{\mathrm{AB}}(\vec{F})=\vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=F \cdot \mathrm{AB} \cdot \cos (30)>0 J.

Cas n° 3

Modélisation d'une force sur un ballon
La force F\vec{F} travaille et ce travail est dit résistant car :
WAB(F)=FAB=FABcos(180)<0W_{\mathrm{AB}}(\vec{F})=\vec{F} \cdot \overrightarrow{\text{AB}}=F \cdot \text{AB} \cdot \cos (180)\lt0 J.

A
Définition de l’énergie cinétique

Dans un référentiel donné, l’énergie cinétique EcE_{\text{c}}