Études énergétiques en mécanique

Dans un référentiel donné, l'énergie cinétique $E_{\text{c}}$ d'un système s'exprime par la relation :


avec $E_{\text{c}}$ : l'énergie cinétique en joule (J) ;
$m$ : la masse du système en kilogramme (kg) ;
$v$ : la vitesse du système en mètre par seconde (m·s^-1).

• Bien exprimer la vitesse en m·s^-1, la masse en kg.
  
  $1$ m·s^-1 $=\frac{\frac{1}{1000}\mathrm{km}}{\frac{1}{3600}\mathrm{h}}=\frac{3600}{1000}$ km·h^-1 $=3\text{,}6$ km·h^-1.

• Une force est dite constante lorsque sa valeur, son sens et sa direction ne varient pas au cours du temps.

Calculer l'énergie cinétique d'une voiture de $1\text{,}0$ tonne roulant à la vitesse maximale autorisée sur une route départementale, soit $80$ km·h^-1. Quelle était l'énergie de cette voiture lorsque la limitation était de $90$ km·h^-1 ?

Le travail d'une force est une grandeur physique permettant d'évaluer l'effet de cette force sur l'énergie cinétique d'un système au cours d'un mouvement.

Le travail $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{F})$ d'une force constante $\overrightarrow{F}$ dont le point d'application se déplace de $\text{A}$ vers $\text{B}$ s'exprime par la relation scalaire :

avec $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{F})$ : le travail de la force $\overrightarrow{F}$ en joule (J) ;
$F$ : la valeur de la force en newton (N) ;
$\text{AB}$ : le déplacement en mètre (m) ;
$\alpha$ : l'angle entre la direction de la force $\overrightarrow{F}$ et celle du déplacement $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.$

La force $\overrightarrow{F}$ ne travaille pas : $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ sont orthogonaux. $W_{\text{AB}}(\overrightarrow{F})=0$ J.

La force $\overrightarrow{F}$ travaille et ce travail est dit moteur car :
$W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=F\cdot \mathrm{AB}\cdot \cos (0)>0$ J.

La force $\overrightarrow{F}$ travaille et ce travail est dit résistant car :
$W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=F\cdot \text{AB}\cdot \cos (180)<0$ J.

Dans un référentiel galiléen tel que le référentiel terrestre, la variation de l'énergie cinétique d'un système de masse $m$ entre un point $\text{A}$ et un point $\text{B}$ est égale à la somme des travaux des forces $\overrightarrow{F}$ agissant sur le système :


Les termes de cette relation s'expriment tous en joule.

Angle quelconque, le travail est moteur (angle inférieur à $90°$) :
$W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=F\cdot \mathrm{AB}\cdot \cos (30)>0$ J.

Dans un référentiel donné, en orientant l'axe des altitudes vers le haut, l'énergie potentielle de pesanteur $E_{\text{pp}}$ d'un système s'exprime par la relation :


avec $E_{\text{pp}}$ : l'énergie potentielle de pesanteur en joule (J) ;
$m$ : la masse du système en kilogramme (kg) ;
$g$ : l'intensité du champ de pesanteur (N·kg^-1) ;
$z$ : l'altitude par rapport à la référence en mètre (m).

Tout corps de masse $m$, placé dans un champ de pesanteur uniforme $\overrightarrow{g}$ est soumis à son propre poids $\overrightarrow{P}.$ Lorsque l'objet se déplace d'un point $\text{A}$ à un point $\text{B}$, le travail du poids s'exprime par la relation :


Exemple :
D'après le doc. 1, $\cos (\alpha )=\frac{z_{\text{A}}-z_{\text{B}}}{\text{AB}}.$

Ainsi : $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{P})=P\cdot \text{AB}\cdot \frac{z_{\text{A}}-z_{\text{B}}}{\text{AB}}=P\cdot (z_{\text{A}}-z_{\text{B}})=m\cdot g\cdot (z_{\text{A}}-z_{\text{B}})$
avec $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{P})$ : le travail du poids en joule (J) ;
$m$ : la masse de l'objet en kilogramme (kg) ;
$g$ : l'intensité du champ de pesanteur (N·kg^-1) ;
$(z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}})$ : la différence d'altitude entre $\text{A}$ et $\text{B}$ repérés sur un axe (O$z$) vertical orienté vers le haut, en mètre (m).

Le travail du poids ne dépend que des altitudes de départ et d'arrivée, il ne dépend pas du chemin suivi par le système. On parle dans ce cas de force conservative.

• Il est impératif de définir une référence des altitudes avant de déterminer l'énergie potentielle de pesanteur. Pour une chute, il est commode de choisir le point le plus bas de la trajectoire (le sol en général) pour lequel $z=$ 0.

Le poids $\overrightarrow{P}$ d'un enfant se déplaçant entre $\text{A}$ à $\text{B}$ sur le toboggan ne dépend pas du parcours dans ce toboggan. $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{P})=\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.$

• Le produit scalaire : il est le produit de deux vecteurs mais c'est une valeur numérique. Attention à bien se relire pour vérifier que le symbole d'un produit scalaire n'est pas coiffé d'une flèche et qu'il a bien une unité associée !

Lors d'un déplacement rectiligne de longueur $\text{AB}$, le travail de la force de frottement $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{f})$ est donné par la relation :

La force de frottement s'opposant généralement au mouvement du système, le travail s'écrit alors :

Ce travail est résistant.

Le travail de la force de frottement dépend du chemin suivi. On parle dans ce cas de force non conservative.

Dans un référentiel donné, on associe à un système plongé dans un champ de pesanteur une énergie mécanique notée $E_{\mathrm{m}}$, telle que :


avec $E_{\text{m}}$ : l'énergie mécanique en J ;
$E_{\text{c}}$ : l'énergie cinétique en J ;
$E_{\text{pp}}$ : l'énergie potentielle de pesanteur en J.

Lorsqu'un système est soumis uniquement à des forces conservatives ou à des forces dont le travail est nul, alors son énergie mécanique se conserve. On peut écrire :

De plus, comme $\Delta E_{\text{m}}(\text{A}\to \text{B})=\Delta E_{\text{c}}(\text{A}\to \text{B})+\Delta E_{\text{pp}}(\text{A}\to \text{B})$,
on a : $\Delta E_{\mathrm{c}}(\mathrm{A}\to \mathrm{B})=-\Delta E_{\mathrm{pp}}(\mathrm{A}\to \mathrm{B}).$
Dans le cas où l'énergie mécanique d'un système se conserve, alors toute l'énergie cinétique perdue est convertie en énergie potentielle et inversement (doc. 4).

L'énergie mécanique se conserve, le mouvement se prolonge indéfiniment (cas idéal).

Lorsqu'un système est soumis à des forces non conservatives qui travaillent, alors son énergie mécanique ne se conserve pas. On peut écrire :

avec $\sum W({\overrightarrow{F}}_{\text{nc}})$ : la somme des travaux des forces non conservatives s'appliquant sur le système (frottements par exemple).

Dans le cas où l'énergie mécanique d'un système ne se conserve pas, alors l'énergie cinétique du système est partiellement convertie en énergie potentielle et inversement (doc. 5).

L'énergie mécanique diminue au cours du temps à cause des frottements, le mouvement finit par s'arrêter (cas réel).

En supposant les forces de frottement négligeables, utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour calculer l'altitude maximale atteinte par une balle de tennis lancée à la vitesse $v_{\text{A}}$ verticalement depuis $2\text{,}0$ m au-dessus du sol.

• Masse de la balle de tennis : $57$ g ;
• Vitesse initiale de la balle : $v_{\text{A}}=7\text{,}0$ m·s^-1 ;
• Intensité du champ de pesanteur : $g=9\text{,}81$ N·kg^‑1.