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Un atterrissage réussi !
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Exercice corrigé




Un atterrissage réussi !

RAI/MOD : Utiliser avec rigueur le modèle de l’énergie

Énoncé

Atterrissage schématisé du robot Curiosity


Curiosity, robot mobile de la NASA, a atterri avec succès sur Mars le 6 août 2012.
Le véhicule dispose de 75 kg d’équipements scientifiques. À 2,00 km d’altitude et à une vitesse de 100 m·s-1, débute la descente autopropulsée puis à 20 m du sol, avec une vitesse de 75 cm·s-1 seulement, l’étage de descente commence à descendre le robot au bout de trois filins de 7,50 mètres pour déposer Curiosity en douceur

D’après le sujet Bac S, Centres étrangers, 2014.
1. Déterminer le travail du poids entre A\text{A} et B\text{B} et commenter.

2. Montrer que l’énergie mécanique du rover ne se conserve pas entre A\text{A} et B.\text{B.} Justifier cette non-conservation.

3. Déduire des deux questions précédentes l’intensité de la force de frottement de l’air f\overrightarrow{f} supposée constante. On assimile la trajectoire du rover à une droite.

Données

  • Intensité du champ de pesanteur sur Mars :
    gmars=3,7g_{\text{mars}} = 3\text{,}7 N·kg-1 ;
  • Masse de l’étage de descente ++ rover :
    m=2,0×103m = 2\text{,}0 \times 10^{3} kg ;
  • Intensité du champ de pesanteur sur Tchouri (considérée comme uniforme) :
    gTchouri=1,0×104g_{\text{Tchouri}} = 1\text{,}0 \times 10^{-4} N·kg‑1.

Analyse de l'énoncé

1. Rappeler la formule du travail du poids. Identifier les valeurs de l’altitude zAz_{\text{A}} de A\text{A} et zBz_{\text{B}} de B.\text{B.}

2. Montrer que Em(A)=Em(B)E_{\mathrm{m}}(\mathrm{A})=E_{\mathrm{m}}(\mathrm{B}) sur le graphique.

3. Faire un bilan des forces s’appliquant sur le rover. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique pour en déduire l’expression de WAB(f)W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{f}). Exprimer le travail WAB(f)W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{f}) en fonction de ff, zAz_{\text{A}} et zBz_{\text{B}}.

Pour bien répondre

1. Les grandeurs mm et gg possèdent 2 chiffres significatifs, zAzBz_{\text{A}}-z_{\text{B}} en possède 3. Le résultat doit donc en comporter 2.

2. Calculer et comparer l’énergie mécanique du rover à deux endroits différents de sa trajectoire.

3. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique Σ(WAB(F))=ΔEc\Sigma(W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{F}))=\Delta E_{\mathrm{c}}, puis utiliser la définition du travail d’une force constante s’appliquant sur le rover en admettant que sa trajectoire est rectiligne : WAB(f)=fAB.W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{f} \cdot \overrightarrow{\text{AB}}.

Solution rédigée

1. Le travail du poids s’écrit : WAB(P)=mg(zAzB).W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{P})=m \cdot g \cdot(z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}). Le rover débute sa descente à zA=2,00z_{\text{A}}=2\text{,}00 km d’altitude pour atteindre le point B\text{B} en zB=20z_{\text{B}}=20 m.
WAB(P)=mg(zAzB)=2,0×103×3,7×(2,00×10320)=1,5×107W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{P})=m \cdot g \cdot\left(z_{\text{A}}-z_{\text{B}}\right)=2\text{,}0 \times 10^{3} \times 3\text{,}7 \times\left(2\text{,}00 \times 10^{3}-20\right)=1\text{,}5 \times 10^{7} J.
Ainsi WAB(P)>0.W_{\text{AB}}(\overrightarrow{P})>0. Le travail du poids est donc moteur.

2. Em(A)=Ec(A)+Ep(A)=12mvA2+mgzA=2,5×107E_{\text{m}}(\text{A})=E_{\text{c}}(\text{A})+E_{\text{p}}(\text{A})=\dfrac{1}{2} m \cdot v_{\text{A}}^{2}+m \cdot g \cdot z_{\text{A}}=2\text{,}5 \times 10^{7} J.
Em(B)=12mvB2+mgzB=1,5×105E_{\text{m}}(\text{B})=\dfrac{1}{2} m \cdot v_{\text{B}}^{2}+m \cdot g \cdot z_{\text{B}}=1\text{,}5 \times 10^{5} J.
Ainsi Em(A)Em(B).E_{\mathrm{m}}(\mathrm{A}) \neq E_{\mathrm{m}}(\mathrm{B}). L’énergie mécanique du système ne se conserve pas. Il existe donc des forces dissipatives.

3. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système, on obtient : Ec(B)Ec(A)=WAB(P)+WAB(f)E_{\text{c}}(\text{B})-E_{\text{c}}(\text{A})=W_{\text{AB}}(\overrightarrow{P})+W_{\text{AB}}(\overrightarrow{f}), soit :
WAB(f)=Ec(B)Ec(A)WAB(P)W_{\mathrm{\text{AB}}}(\overrightarrow{f})=E_{\text{c}}(\text{B})-E_{\text{c}}(\text{A})-W_{\text{AB}}(\overrightarrow{P})
WAB(f)=12×2,00×103(0,7521002)1,5×107=2,5×107W_{\mathrm{\text{AB}}}(\overrightarrow{f})=\dfrac{1}{2} \times 2\text{,}00 \times 10^{3}(0\text{,}75^{2}-100^{2})-1\text{,}5 \times 10^{7}=-2\text{,}5 \times 10^{7} J.
Enfin WAB(f)=fABW_{\text{AB}}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{f} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} donc f=WAB(f)zBzA=2,5×1071,98×103=1,3×104f=\dfrac{W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{f})}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}=\dfrac{-2\text{,}5 \times 10^{7}}{-1\text{,}98 \times 10^{3}}=1\text{,}3 \times 10^{4} N.
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Mise en application

Le 12 novembre 2014, le robot explorateur spatial Philae, de masse m=m = 100 kg, s’est posé sur le noyau de la comète Tchouri, à plus de 500 ×\times 106 km de la Terre. Après avoir été largué sans vitesse initiale par la sonde spatiale Rosetta en orbite à 20 km de la surface de la comète, Philae a chuté en ligne droite pendant 7 h en direction de la comète avant d’atteindre la surface de Tchouri à la vitesse de 1,0 m·s-1.

Reprendre les trois questions de l’exercice précédent pour la chute du robot Philae sur Tchouri.
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