Études énergétiques en mécanique

Curiosity, robot mobile de la NASA, a atterri avec succès sur Mars le 6 août 2012.
Le véhicule dispose de 75 kg d'équipements scientifiques. À 2,00 km d'altitude et à une vitesse de 100 m·s^-1, débute la descente autopropulsée puis à 20 m du sol, avec une vitesse de 75 cm·s^-1 seulement, l'étage de descente commence à descendre le robot au bout de trois filins de 7,50 mètres pour déposer Curiosity en douceur


1. Déterminer le travail du poids entre $\text{A}$ et $\text{B}$ et commenter.

2. Montrer que l'énergie mécanique du rover ne se conserve pas entre $\text{A}$ et $\text{B.}$ Justifier cette non-conservation.

3. Déduire des deux questions précédentes l'intensité de la force de frottement de l'air $\overrightarrow{f}$ supposée constante. On assimile la trajectoire du rover à une droite.

• Intensité du champ de pesanteur sur Mars :
  $g_{\text{mars}}=3\text{,}7$ N·kg^-1 ;
• Masse de l'étage de descente $+$ rover :
  $m=2\text{,}0\times 10^3$ kg ;
• Intensité du champ de pesanteur sur Tchouri (considérée comme uniforme) :
  $g_{\text{Tchouri}}=1\text{,}0\times 10^{-4}$ N·kg^‑1.

1. Rappeler la formule du travail du poids. Identifier les valeurs de l'altitude $z_{\text{A}}$ de $\text{A}$ et $z_{\text{B}}$ de $\text{B.}$

2. Montrer que $E_{\mathrm{m}}(\mathrm{A})=E_{\mathrm{m}}(\mathrm{B})$ sur le graphique.

3. Faire un bilan des forces s'appliquant sur le rover. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour en déduire l'expression de $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{f})$. Exprimer le travail $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{f})$ en fonction de $f$, $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.

1. Le travail du poids s'écrit : $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{P})=m\cdot g\cdot (z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}).$ Le rover débute sa descente à $z_{\text{A}}=2\text{,}00$ km d'altitude pour atteindre le point $\text{B}$ en $z_{\text{B}}=20$ m.
$W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{P})=m\cdot g\cdot \left(z_{\text{A}}-z_{\text{B}}\right)=2\text{,}0\times 10^3\times 3\text{,}7\times \left(2\text{,}00\times 10^3-20\right)=1\text{,}5\times 10^7$ J.
Ainsi $W_{\text{AB}}(\overrightarrow{P})>0.$ Le travail du poids est donc moteur.

2. $E_{\text{m}}(\text{A})=E_{\text{c}}(\text{A})+E_{\text{p}}(\text{A})=\frac{1}{2}m\cdot v_{\text{A}}^2+m\cdot g\cdot z_{\text{A}}=2\text{,}5\times 10^7$ J.
$E_{\text{m}}(\text{B})=\frac{1}{2}m\cdot v_{\text{B}}^2+m\cdot g\cdot z_{\text{B}}=1\text{,}5\times 10^5$ J.
Ainsi $E_{\mathrm{m}}(\mathrm{A})\ne E_{\mathrm{m}}(\mathrm{B}).$ L'énergie mécanique du système ne se conserve pas. Il existe donc des forces dissipatives.

3. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au système, on obtient : $E_{\text{c}}(\text{B})-E_{\text{c}}(\text{A})=W_{\text{AB}}(\overrightarrow{P})+W_{\text{AB}}(\overrightarrow{f})$, soit :
$W_{\text{AB}}(\overrightarrow{f})=E_{\text{c}}(\text{B})-E_{\text{c}}(\text{A})-W_{\text{AB}}(\overrightarrow{P})$
$W_{\text{AB}}(\overrightarrow{f})=\frac{1}{2}\times 2\text{,}00\times 10^3(0\text{,}75^2-100^2)-1\text{,}5\times 10^7=-2\text{,}5\times 10^7$ J.
Enfin $W_{\text{AB}}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}$ donc $f=\frac{W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{f})}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}=\frac{-2\text{,}5\times 10^7}{-1\text{,}98\times 10^3}=1\text{,}3\times 10^4$ N.

1. Les grandeurs $m$ et $g$ possèdent 2 chiffres significatifs, $z_{\text{A}}-z_{\text{B}}$ en possède 3. Le résultat doit donc en comporter 2.

2. Calculer et comparer l'énergie mécanique du rover à deux endroits différents de sa trajectoire.

3. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique $\Sigma (W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{F}))=\Delta E_{\mathrm{c}}$, puis utiliser la définition du travail d'une force constante s'appliquant sur le rover en admettant que sa trajectoire est rectiligne : $W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}.$