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Des réseaux cristallins singuliers
P.28-29

ACTIVITÉ DOCUMENTAIRE


1
Des réseaux cristallins singuliers




Les structures cristallines sont présentes autour de nous : dans la neige, dans le sucre ou dans les sels comme le chlorure de sodium mais aussi dans de nombreuses roches. Certaines de ces structures sont parfois rares et précieuses !

➜ Ces cristaux, ou solides cristallins, ont-ils des organisations toutes identiques à l’échelle microscopique ?



Doc. 1
L’Atomium

l’Atomium

Doc. 2
La structure cubique simple

La structure cubique simple
La structure cubique simple est la structure cristalline la plus simple. Dans cette structure, les atomes sont situés aux 8 sommets d’un cube. On parle aussi de maille.

Dans le modèle de la maille cristalline, les atomes sont modélisés par des sphères dures (c’est-à-dire des sphères indéformables) de rayon RR et situées les unes au contact des autres.

Pour le comptage des atomes par maille : chaque atome au sommet du cube ne compte que pour 18\dfrac{1}{8} car il est partagé entre 8 cubes adjacents (ou mailles).
Bien que les atomes soient tangents, on les représente espacés par commodité de lecture.

Doc. 3
Éléments de géométrie de la structure cubique simple

Éléments de géométrie de la structure cubique centrée
Éléments de géométrie de la structure cubique centrée

La compacité correspond à la proportion d’espace occupé par les atomes dans le cube. Elle s’exprime sous la forme :
c=volume occupeˊ par les atomesvolume du cubec = \dfrac{\text{volume occupé par les atomes}}{\text{volume du cube}}
On appelle aa l’arête du cube.

Ressource complémentaire

Cliquez ici pour construire la structure cristalline cubique simple du polonium.


Doc. 4
L'empilement compact

L'empilement compact

L’empilement compact est la manière d’agencer des sphères dans l’espace afin d’avoir la plus grande densité de sphères, sans que celles-ci se recouvrent.
Avec trois sphères de même diamètre en contact sur un plan compact (noté plan A), on peut placer une quatrième sphère, toujours du même diamètre, dans le creux entre les trois premières, les centres des sphères formant un tétraèdre régulier. En positionnant ainsi des sphères dans les creux du plan compact A, on obtient un deuxième plan compact (plan B). En 1611, Johannes Kepler conjectura que c’était l’arrangement spatial le plus compact (conjecture de Kepler), ce qui fut prouvé par Thomas Hales en 1998.
Lorsque l’on ajoute un troisième plan compact noté C, on dessine alors un réseau cristallin de type cubique à faces centrées ; cet empilement compact a une compacité égale à 0,74.

Doc. 5
La maille de la structure cristalline cubique à faces centrées (CFC)

La maille de la structure cristalline cubique à faces centrées (CFC)
La maille de la structure cristalline cubique à faces centrées (CFC)

La représentation d’une maille de cette structure et du plan de compacité permet de déterminer la relation entre aa et RR et de calculer la compacité de la maille.

Pour le comptage des atomes par maille : les règles sont les mêmes que pour la structure cubique simple, et les atomes situés au centre des faces comptent pour 12.\dfrac{1}{2}.

Ressource complémentaire

Il existe une troisième structure cubique : la structure cubique centrée.
Cliquez ici pour construire la structure cristalline cubique simple du polonium.


Instant
maths

Retrouvez des rappels de cours et des exercices d’application sur le théorème de Pythagore p. 277 et les volumes de sphères p. 276.

Vocabulaire

Solide cristallin, solide amorphe : on distingue les solides cristallins constitués d’une répétition quasi parfaite de l’arrangement des atomes dans les 3 directions de l’espace et les solides amorphes correspondant à un état liquide figé et pour lesquels l’ordre à longue distance n’existe pas.

Maille (en cristallographie) : unité de répétition par translation. En se répétant indéfiniment par translation dans les trois dimensions de l’espace, elle définit le réseau cristallin.

Questions

Structure cristalline cubique simple

1. Doc. 2 Dénombrez le nombre d’atomes par maille dans une structure cristalline cubique simple en respectant les règles de comptage.

2. Doc. 2 et 3 Établissez la relation mathématique liant aa et RR.

3. Synthèse Calculez la compacité de la structure cubique simple. On considère qu’une structure cristalline est compacte lorsque sa compacité est égale à 0,74. Concluez.


Structure cristalline cubique à faces centrées

4. Doc. 5 Dénombrez le nombre d’atomes d’or par maille dans une structure cristalline cubique face centrée.

5. Doc. 5 Établissez la relation mathématique liant aa et RR.

6. Doc. 4 et 5 Calculez la compacité de la structure cubique à faces centrées. Conclure.

7. Synthèse À l’aide de la masse volumique de l’or et de sa masse atomique moyenne (ρ=19,3\rho = 19\text{,}3 kg·L-1 ; m=3,27×1022m = 3\text{,}27 \times 10^{-22} g), proposez une stratégie pour déterminer la valeur de aa puis le rayon atomique de l’or.
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