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COURS 1


1
Proportions




Application et méthode


SOLUTION

On calcule la proportion : p=0,6×0,4=0,24.p=0{,}6 \times 0{,}4=0\text{,}24.
Donc 24 % des élèves de la classe sont des garçons pratiquant un sport.


Pourcentage de pourcentage


Pour s'entraîner : exercices 24 et 25 p. 259

Énoncé

Dans une classe, 60 % des élèves pratiquent un sport. Parmi ces élèves, 40 % sont des garçons.
Donner le pourcentage de garçons pratiquant un sport dans la classe.

Méthode


Commencer par traduire les pourcentages en termes de proportion.

  • Proportion de sportifs dans la classe : p1=0,6.p_{1} = 0\text{,}6.
  • Proportion de garçons chez les sportifs : p2=0,4.p_{2} = 0\text{,}4.

  • Appliquer la formule pour trouver la proportion de garçons sportifs dans la classe : p=p1×p2=0,24.p=p_{1} \times p_{2}=0\text{,}24.

    B
    Pourcentage de pourcentage


    Propriété

    Soient F\text{F} un ensemble non vide de référence, E\text{E} une partie non vide de F\text{F} et A\text{A} une partie de E.\text{E} .
    Si p1p_{1} est la proportion de A\text{A} dans E\text{E} et si p2p_{2} est la proportion de E\text{E} dans F\text{F} alors la proportion de A\text{A} dans F\text{F} est p=p1×p2.p=p_{1} \times p_{2}.

    Exemple

    Le Syndicat des Éditeurs de Logiciels de Loisirs déclare que 53 % des Français jouent régulièrement aux jeux vidéos. Parmi eux, 47 % sont des femmes.
    En notant pp la proportion de femmes jouant aux jeux vidéos parmi tous les Français, on a :
    p=53100×47100=0,2491=24,91%p=\dfrac{53}{100} \times \dfrac{47}{100}=0{,}2491=24{,}91\: \%
    Parmi les Français, la proportion de femmes jouant aux jeux vidéos est de 24,91 %.

    DÉMONSTRATION

    Soient F\text{F} un ensemble non vide de référence et nFn_{\text{F}} le nombre d’éléments dans F.\text{F} . E\text{E} est une partie non vide de F\text{F} contenant nEn_{\text{E}} éléments et A\text{A} est une partie de E\text{E} contenant nAn_{\text{A}} éléments. On sait que nF0n_{\mathrm{F}} \neq 0 et nE0.n_{\mathrm{E}} \neq 0.
  • Si p1p_{1} est la proportion de A\text{A} dans E,\mathrm{E} , alors p1=nAnE.p_{1}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}}.

  • Si p2p_{2} est la proportion de E\mathrm{E} dans F,\text{F} , alors p2=nEnF.p_{2}=\dfrac{n_{\mathrm{E}}}{n_{\mathrm{F}}}.

  • Si pp est la proportion de A\text{A} dans F,\text{F} , alors p=nAnF.p=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{F}}}.

  • On a : p1×p2=nAnE×nEnF=nA×nEnE×nF=nAnF=p.p_{1} \times p_{2}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}} \times \dfrac{n_{\mathrm{E}}}{n_{\mathrm{F}}}=\dfrac{n_{\mathrm{A}} \times n_{\mathrm{E}}}{n_{\mathrm{E}} \times n_{\mathrm{F}}}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{F}}}=p.

    A
    Proportion et pourcentage


    Conséquence

    À partir de la définition précédente, on peut retrouver l’effectif manquant nAn_{\mathrm{A}} ou nEn_{\mathrm{E}} connaissant la proportion pp de A\mathrm{A} dans E:\mathrm{E} :
    nA=p×nEn_{\mathrm{A}}=p \times n_{\mathrm{E}} et, pour p0,p \neq 0, nE=nAp.n_{\mathrm{E}}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{p}.

    DÉMONSTRATION

  • On a nA0n_{\mathrm{A}} \geqslant 0 et nE>0.n_{\mathrm{E}} >0.
    Or, le quotient de deux réels positifs est positif d'où nAnE0\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}} \geqslant 0 donc p0.p \geqslant 0.
  • A\mathrm{A} étant une partie de E,\mathrm{E} , nAnEn_{\mathrm{A}} \leqslant n_{\mathrm{E}} d'où nAnE1,\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}} \leqslant 1, donc p1.p \leqslant 1.
  • Remarque

    Une proportion peut être exprimée sous forme décimale, sous forme de fraction ou de pourcentage :
    0,3=30100=30%.0{,}3=\dfrac{30}{100}=30\: \%.

    Remarque

    Un pourcentage exprimant une proportion est un « rapport d’une partie (A)(\text{A}) au tout (E)(\text{E}) ».

    Exemple

    Lors d’une élection, sur 864 inscrits, 648 personnes ont voté.
    La proportion de votants est p=648864=0,75.p=\dfrac{648}{864}=0{,}75.
    Donc, il y a 75 % de votants parmi les inscrits.

    Propriété

    Pour tout ensemble A\mathrm{A} contenu dans un ensemble non vide E,\mathrm{E} , on a : 0p1.0 \leqslant p \leqslant 1.

    Définition

    Soient E\text{E} un ensemble de référence non vide et nEn_{\text{E}} le nombre d’éléments de E.\text{E} . Soient A\text{A} une partie de l’ensemble E\text{E} et nAn_{\text{A}} le nombre d’éléments de A.\text{A} .
    La proportion pp de A\text{A} dans E\text{E} est le réel défini par p=nAnE.p=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}}.

    Application et méthode


    Méthode

    Repérer l’ensemble de référence E,\text{E} , « la tablette de chocolat » et nEn_{\text{E}} son effectif : nE=180.n_{\text{E}} = 180.

    1. Repérer la partie S\text{S} de la tablette de chocolat « le sucre qu’elle contient » et nSn_{\text{S}} son effectif : nS=72.n_{\text{S}} = 72.
    La proportion pp de S\text{S} dans E\text{E} est alors : p=nSnE.p=\dfrac{n_{\mathrm{S}}}{n_{\mathrm{E}}}.

    2. Repérer une autre partie C\text{C} de la tablette de chocolat « la teneur en cacao ». On sait que la proportion pp de C\text{C} dans E\text{E} est de 55 %, soit p=0,55.p = 0\text{,}55.
    Utiliser alors la formule : nC=nE×p.n_{\mathrm{C}}=n_{\mathrm{E}} \times p.


    SOLUTION

    1. La proportion pp de sucre dans la tablette de chocolat est :
    p=72180=0,4p=\dfrac{72}{180}=0\text{,}4 soit 40 %.
    Proportion et pourcentage

    2. La masse de cacao m dans la tablette de chocolat est : m=180×55100=99m=180 \times \dfrac{55}{100}=99 soit 99 g.

    Proportion et pourcentage

    Pour s'entraîner : exercices 21 ; 22 et 23 p. 259

    Énoncé

    On s’intéresse à la composition d’une tablette de chocolat de 180 g.
    1. Elle comporte 72 g de sucre : quelle proportion (en pourcentage) cela représente-t-il ?
    2. Le cacao constitue 55 % de la tablette : quelle masse cela représente-t-il ?
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