Lorsqu'une quantité subit des évolutions successives t_{1} , t_{2} , ..., t_{n} de sa valeur, elle subit alors une évolution globale t .

L'ordre dans lequel les évolutions successives sont appliquées n'a pas d'importance.

Déterminer le taux d'évolution global d'une valeur suite à une augmentation de 50 % puis à une diminution de 50 %.

Une quantité non nulle \text{V}_{\text{D}} subit une évolution de taux t et devient égale à une quantité \text{V}_{\text{A}}. Le taux réciproque de t est le taux t' permettant de passer de \text{V}_{\text{A}} à \text{V}_{\text{D}}.

Un article coûte 50 €. Une baisse de 20 % fait passer le prix à 40 €.
Il faut une augmentation de 25 % pour revenir au prix initial de 50 €.
Ici, t = - 20 % et le taux réciproque est t' = +25  %.

Le coefficient multiplicateur réciproque \text{CM}' associé à l'évolution réciproque t' est l'inverse du coefficient multiplicateur non nul \text{CM} associé à l'évolution de départ t . On a \mathrm{CM}^{\prime}=\dfrac{1}{\mathrm{CM}}.

Soient t et t' deux évolutions successives non nulles telles que la valeur d'arrivée soit la même que la valeur de départ. Le coefficient multiplicateur global est 1. On note \text{CM} et \text{CM}' les coefficients multiplicateurs respectifs des évolutions t et t' . On a alors \mathrm{CM} \times \mathrm{CM}^{\prime}=1. D'où \mathrm{CM}^{\prime}=\dfrac{1}{\mathrm{CM}}.

• Calculer le coefficient multiplicateur \text{CM} associé au taux d'évolution initial : \text{CM} = 1 + t = 1 + 0\text{,}60 = 1\text{,}60.
• Déterminer le coefficient multiplicateur réciproque \text{CM}' en calculant l'inverse de \text{CM} : \mathrm{CM}^{\prime}=\dfrac{1}{\mathrm{CM}}.
• En déduire le taux d'évolution réciproque t' grâce à \text{CM}' en utilisant la formule t^{\prime}=\mathrm{CM}^{\prime}-1.

\mathrm{CM}=1{,}60. \mathrm{CM}^{\prime}=\dfrac{1}{1{,}60}=0\text{,}625.

Le taux d'évolution réciproque est alors de 0\text{,}625-1=-0\text{,}375=-37\text{,}5 %


Exercices

33

p. 259 et

84

p. 265