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COURS 3


3
Évolutions successives et réciproques




A
Évolutions successives


Définition

Lorsqu’une quantité subit des évolutions successives t1,t2,...,tnt_{1} , t_{2} , ..., t_{n} de sa valeur, elle subit alors une évolution globale t.t .

Remarque

L’ordre dans lequel les évolutions successives sont appliquées n’a pas d’importance.

Propriété

Le coefficient multiplicateur global CM\text{CM} associé à l’évolution tt est le produit des coefficients multiplicateurs CM1,\mathrm{CM}_{1}, CM2,\mathrm{CM}_{2}, ,CMn\dots, \mathrm{CM}_{n} associés respectivement aux évolutions t1,t_{1}, t2,t_{2}, ,tn. \dots, t_{n}.
On a CM=CM1×CM2××CMn.\mathrm{CM}=\mathrm{CM}_{1} \times \mathrm{CM}_{2} \times \ldots \times \mathrm{CM}_{n}.

Évolutions successives

Remarque

Le taux d’évolution global n’est pas égal à la somme des taux d’évolution successifs.

Exemple

Une valeur subit une hausse de 6 % puis une hausse de 14 %. Le coefficient multiplicateur associé au taux d’évolution global tt est alors : CM=1,06×1,14=1,2084.\mathrm{CM}=1{,}06 \times 1{,}14=1{,}2084.
D'où t=1,20841=0,2084t=1{,}2084-1=0{,}2084 soit une augmentation globale de 20,84 %.

Application et méthode

Énoncé

Déterminer le taux d’évolution global d’une valeur suite à une augmentation de 50 % puis à une diminution de 50 %.

Méthode

  • Calculer les coefficients multiplicateurs associés aux taux d’évolution :
    soit t1=50t_{1}=50 % d'où CM1=1+0,50=1,50\mathrm{CM}_{1}=1+0{,}50=1{,}50
    et t2=50t_{2}=50 % d'où CM2=10,50=0,50.\mathrm{CM}_{2}=1-0{,}50=0{,}50.
  • Utiliser la formule CM=CM1×CM2.\mathrm{CM}=\mathrm{CM}_{1} \times \mathrm{CM}_{2}.
  • En déduire le taux d’évolution global tt en utilisant la formule t=CM1.t = \text{CM}- 1 .

  • SOLUTION

    Le coefficient multiplicateur global est CM=1,50×0,50=0,75.\mathrm{CM}=1{,}50 \times 0{,}50=0{,}75.
    Le taux d’évolution global est t=CM1=25t=\mathrm{CM}-1=-25  %.

    Évolutions successives


    Pour s'entraîner : exercices 32 p. 259 et 72 p. 264

    B
    Évolutions réciproques


    Définition

    Une quantité non nulle VD\text{V}_{\text{D}} subit une évolution de taux tt et devient égale à une quantité VA.\text{V}_{\text{A}}. Le taux réciproque de tt est le taux tt' permettant de passer de VA\text{V}_{\text{A}} à VD.\text{V}_{\text{D}}.

    Exemple

    Un article coûte 50 €. Une baisse de 20 % fait passer le prix à 40 €.
    Il faut une augmentation de 25 % pour revenir au prix initial de 50 €.
    Ici, t=20t = - 20 % et le taux réciproque est t=+25t' = +25  %.

    Propriété

    Le coefficient multiplicateur réciproque CM\text{CM}' associé à l’évolution réciproque tt' est l’inverse du coefficient multiplicateur non nul CM\text{CM} associé à l’évolution de départ t.t . On a CM=1CM.\mathrm{CM}^{\prime}=\dfrac{1}{\mathrm{CM}}.

    DÉMONSTRATION

    Soient tt et tt' deux évolutions successives non nulles telles que la valeur d’arrivée soit la même que la valeur de départ. Le coefficient multiplicateur global est 1.1. On note CM\text{CM} et CM\text{CM}' les coefficients multiplicateurs respectifs des évolutions tt et t.t' . On a alors CM×CM=1.\mathrm{CM} \times \mathrm{CM}^{\prime}=1. D’où CM=1CM.\mathrm{CM}^{\prime}=\dfrac{1}{\mathrm{CM}}.

    Application et méthode

    Énoncé

    Déterminer l’évolution réciproque d’une augmentation de 60 %.

    Méthode

  • Calculer le coefficient multiplicateur CM\text{CM} associé au taux d’évolution initial : CM=1+t=1+0,60=1,60.\text{CM} = 1 + t = 1 + 0\text{,}60 = 1\text{,}60.
  • Déterminer le coefficient multiplicateur réciproque CM\text{CM}' en calculant l’inverse de CM:\text{CM} : CM=1CM.\mathrm{CM}^{\prime}=\dfrac{1}{\mathrm{CM}}.
  • En déduire le taux d’évolution réciproque tt' grâce à CM\text{CM}' en utilisant la formule t=CM1.t^{\prime}=\mathrm{CM}^{\prime}-1.

  • SOLUTION

    CM=1,60.\mathrm{CM}=1{,}60. CM=11,60=0,625.\mathrm{CM}^{\prime}=\dfrac{1}{1{,}60}=0\text{,}625.

    Le taux d’évolution réciproque est alors de 0,6251=0,375=37,50\text{,}625-1=-0\text{,}375=-37\text{,}5 %

    Évolutions réciproques

    Pour s'entraîner : exercices 33 p. 259 et 84 p. 265
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