Évolutions successives et réciproques

Lorsqu'une quantité subit des évolutions successives $t_1,t_2,...,t_n$ de sa valeur, elle subit alors une évolution globale $t.$

L'ordre dans lequel les évolutions successives sont appliquées n'a pas d'importance.

Déterminer le taux d'évolution global d'une valeur suite à une augmentation de 50 % puis à une diminution de 50 %.

Une quantité non nulle ${\text{V}}_{\text{D}}$ subit une évolution de taux $t$ et devient égale à une quantité ${\text{V}}_{\text{A}}.$ Le taux réciproque de $t$ est le taux $t^{\prime }$ permettant de passer de ${\text{V}}_{\text{A}}$ à ${\text{V}}_{\text{D}}.$

Un article coûte 50 €. Une baisse de 20 % fait passer le prix à 40 €.
Il faut une augmentation de 25 % pour revenir au prix initial de 50 €.
Ici, $t=-20$ % et le taux réciproque est $t^{\prime }=+25$ %.

Le coefficient multiplicateur réciproque ${\text{CM}}^{\prime }$ associé à l'évolution réciproque $t^{\prime }$ est l'inverse du coefficient multiplicateur non nul $\text{CM}$ associé à l'évolution de départ $t.$ On a ${\mathrm{CM}}^{\prime }=\frac{1}{\mathrm{CM}}.$

Soient $t$ et $t^{\prime }$ deux évolutions successives non nulles telles que la valeur d'arrivée soit la même que la valeur de départ. Le coefficient multiplicateur global est $1.$ On note $\text{CM}$ et ${\text{CM}}^{\prime }$ les coefficients multiplicateurs respectifs des évolutions $t$ et $t^{\prime }.$ On a alors $\mathrm{CM}\times {\mathrm{CM}}^{\prime }=1.$ D'où ${\mathrm{CM}}^{\prime }=\frac{1}{\mathrm{CM}}.$

• Calculer le coefficient multiplicateur $\text{CM}$ associé au taux d'évolution initial : $\text{CM}=1+t=1+0\text{,}60=1\text{,}60.$
• Déterminer le coefficient multiplicateur réciproque ${\text{CM}}^{\prime }$ en calculant l'inverse de $\text{CM}:$ ${\mathrm{CM}}^{\prime }=\frac{1}{\mathrm{CM}}.$
• En déduire le taux d'évolution réciproque $t^{\prime }$ grâce à ${\text{CM}}^{\prime }$ en utilisant la formule $t^{\prime }={\mathrm{CM}}^{\prime }-1.$

$\mathrm{CM}=1,60.$ ${\mathrm{CM}}^{\prime }=\frac{1}{1,60}=0\text{,}625.$

Le taux d'évolution réciproque est alors de $0\text{,}625-1=-0\text{,}375=-37\text{,}5$ %


Exercices

33

p. 259 et

84

p. 265