Mathématiques 2de

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Ch. 5
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Rappels de collège
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Chapitre 9
Cours 2

Taux d'évolution

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Une quantité a une valeur de départ non nulle \text{V}_{\text{D}} . Elle varie pour atteindre une valeur d'arrivée \text{V}_{\text{A}} .
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A
Variation absolue et variation relative

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Définition
La variation absolue \Delta\text{V} est donnée par : \Delta \mathrm{V}=\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}}.
La variation relative (ou taux d'évolution) t est le quotient de la différence entre \text{V}_{\text{A}} et \text{V}_{\text{D}} par \text{V}_{\text{D}}.
Elle est donnée par : t=\dfrac{\text{V}_{\text{A}}-\text{V}_{\text{D}}}{\text{V}_{\text{D}}}.
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Remarque

Si la quantité augmente, les variations absolue et relative sont positives. Sinon, elles sont négatives.
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Application et méthode
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Énoncé
Adam place 110 € en Bourse. Il se rend compte 15 jours plus tard que ses actions valent 132 €.
1. Calculer la variation absolue de la somme placée.

2. Calculer la variation relative de cette somme placée (en pourcentage).
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Méthode

1. La variation absolue est la différence entre la valeur d'arrivée \text{V}_{\text{A}} et la valeur de départ \text{V}_{\text{D}} .

2. La variation relative revient à chercher le quotient de la différence par le prix de départ : t=\dfrac{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}.

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Solution
1. La variation absolue est \Delta \text{V}=132-110=22 soit +22 €.

2. La variation relative est t=\dfrac{22}{110}=0{,}2=\dfrac{20}{100} soit une augmentation de +20 % par rapport à la somme placée au départ.

Pour s'entraîner
Exercices p. 259
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B
Coefficient multiplicateur

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Propriété
Soit t le taux d'évolution qui permet à une quantité de passer de \mathrm{V}_{\mathrm{D}} à \mathrm{V}_{\mathrm{A}} .
On a alors : \mathrm{V}_{\mathrm{A}}=(1+t) \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}
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Démonstration
D'après la définition du taux d'évolution t , pour \mathrm{V}_{\mathrm{D}} \neq 0, on a t=\dfrac{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}.
t=\dfrac{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{D}}} \Leftrightarrow t \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}=\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}} \Leftrightarrow t \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}+\mathrm{V}_{\mathrm{D}}=\mathrm{V}_{\mathrm{A}} \Leftrightarrow(t+1) \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}=\mathrm{V}_{\mathrm{A}}
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Définition
1 + t est appelé coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution t . On peut le noter \text{CM} . Avec ces notations, on pourra retenir : \mathrm{V}_{\mathrm{A}}=\text{CM} \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}} et \text{CM}=1+t.
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Remarque

Lorsque \text{CM} \neq 0, on a aussi : \mathrm{V}_{\mathrm{D}}=\dfrac{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{CM}}.
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Propriété
Dans le cas d'une baisse, t est négatif et \text{CM} est un réel compris entre 0 et 1.
Dans le cas d'une augmentation, t est positif et \text{CM} est un réel supérieur à 1.
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Remarque

Il est très souvent utile de savoir retrouver le taux d'évolution t à partir du coefficient multiplicateur \text{CM} : t = \text{CM} - 1.
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Démonstration
Voir exercice p. 263.
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Exemple
Un article à 85 € est soldé sur internet à -25 %.
On a \text{V}_{\text{D}} = 85 et \text{CM} = 1 - 25 % = 1 - 0{,}25 = 0{,}75.
\text{V}_{\text{A}} = \text{V}_{\text{D}} \times \text{CM} = 85 \times 0\text{,}75 = 63\text{,}75
Le nouveau prix de cet article est 63,75 €.
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Application et méthode
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Énoncé
Adam effectue un autre placement de 110 €. Ses actions risquent de subir une des deux modifications suivantes : soit elles augmentent de 10 %, soit elles baissent de 15 %.
1. Donner les coefficients multiplicateurs liés à chacune de ces évolutions.
2. Dans chacun des cas, calculer la nouvelle valeur de ses actions.
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Méthode

1. Traduire le pourcentage d'évolution en nombre décimal t (qui peut être positif ou négatif) puis appliquer la formule \text{CM} = 1 + t.

2. Pour chacune des évolutions, on a \mathrm{V}_{\mathrm{D}}=110 et on a calculé le coefficient multiplicateur. Pour calculer la valeur d'arrivée \text{V}_{\text{A}} , on utilise la formule \mathrm{V}_{\mathrm{A}}=\mathrm{CM} \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}.
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Solution
1. Dans le cas de l'augmentation de 10 % : \text{CM} = 1 + 0{,}10 = 1{,}10.
Dans le cas de la baisse de 15 % : \text{CM} = 1-0\text{,}15 = 0\text{,}85.

2. Si le cours de l'action augmente : 110 \times 1{,}10=121 soit 121 €.
S'il baisse : 110 \times 0\text{,}85=93\text{,}50 €.

Coefficient multiplicateur
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Pour s'entraîner
Exercices p. 259

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