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COURS 2


2
Taux d’évolution




Une quantité a une valeur de départ non nulle VD.\text{V}_{\text{D}} . Elle varie pour atteindre une valeur d’arrivée VA.\text{V}_{\text{A}} .

A
Variation absolue et variation relative


Définition

La variation absolue ΔV \Delta\text{V} est donnée par : ΔV=VAVD.\Delta \mathrm{V}=\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}}.
La variation relative (ou taux d'évolution) tt est le quotient de la différence entre VA\text{V}_{\text{A}} et VD\text{V}_{\text{D}} par VD.\text{V}_{\text{D}}.
Elle est donnée par : t=VAVDVD.t=\dfrac{\text{V}_{\text{A}}-\text{V}_{\text{D}}}{\text{V}_{\text{D}}}.

Remarque

Si la quantité augmente, les variations absolue et relative sont positives. Sinon, elles sont négatives.

Application et méthode

Énoncé

Adam place 110 € en Bourse. Il se rend compte 15 jours plus tard que ses actions valent 132 €.
1. Calculer la variation absolue de la somme placée.
2. Calculer la variation relative de cette somme placée (en pourcentage).

Méthode

1. La variation absolue est la différence entre la valeur d’arrivée VA\text{V}_{\text{A}} et la valeur de départ VD.\text{V}_{\text{D}} .

2. La variation relative revient à chercher le quotient de la différence par le prix de départ : t=VAVDVD.t=\dfrac{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}.


SOLUTION

1. La variation absolue est ΔV=132110=22\Delta \text{V}=132-110=22 soit +22 €.

2. La variation relative est t=22110=0,2=20100t=\dfrac{22}{110}=0{,}2=\dfrac{20}{100} soit une augmentation de +20 % par rapport à la somme placée au départ.

Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 259

B
Coefficient multiplicateur


Propriété

Soit tt le taux d’évolution qui permet à une quantité de passer de VD\mathrm{V}_{\mathrm{D}} à VA.\mathrm{V}_{\mathrm{A}} .
On a alors : VA=(1+t)×VD\mathrm{V}_{\mathrm{A}}=(1+t) \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}

DÉMONSTRATION

D’après la définition du taux d’évolution t,t , pour VD0,\mathrm{V}_{\mathrm{D}} \neq 0, on a t=VAVDVD.t=\dfrac{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}.
t=VAVDVDt×VD=VAVDt×VD+VD=VA(t+1)×VD=VAt=\dfrac{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{D}}} \Leftrightarrow t \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}=\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}} \Leftrightarrow t \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}+\mathrm{V}_{\mathrm{D}}=\mathrm{V}_{\mathrm{A}} \Leftrightarrow(t+1) \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}=\mathrm{V}_{\mathrm{A}}

Définition

1+t1 + t est appelé coefficient multiplicateur associé au taux d’évolution t.t . On peut le noter CM.\text{CM} . Avec ces notations, on pourra retenir : VA=CM×VD\mathrm{V}_{\mathrm{A}}=\text{CM} \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}} et CM=1+t.\text{CM}=1+t.

Remarque

Lorsque CM0,\text{CM} \neq 0, on a aussi : VD=VACM.\mathrm{V}_{\mathrm{D}}=\dfrac{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{CM}}.

Propriétés

Dans le cas d’une baisse, tt est négatif et CM\text{CM} est un réel compris entre 00 et 1.1.
Dans le cas d’une augmentation, tt est positif et CM\text{CM} est un réel supérieur à 1.1.

Remarque

Il est très souvent utile de savoir retrouver le taux d’évolution tt à partir du coefficient multiplicateur CM:\text{CM} : t=CM1.t = \text{CM} - 1.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
68
p. 263.

Exemple

Un article à 85 € est soldé sur internet à -25 %.
On a VD=85\text{V}_{\text{D}} = 85 et CM=125\text{CM} = 1 - 25 % =10,25=0,75.= 1 - 0{,}25 = 0{,}75.
VA=VD×CM=85×0,75=63,75\text{V}_{\text{A}} = \text{V}_{\text{D}} \times \text{CM} = 85 \times 0\text{,}75 = 63\text{,}75
Le nouveau prix de cet article est 63,75 €.

Application et méthode

Énoncé

Adam effectue un autre placement de 110 €. Ses actions risquent de subir une des deux modifications suivantes : soit elles augmentent de 10 %, soit elles baissent de 15 %.
1. Donner les coefficients multiplicateurs liés à chacune de ces évolutions.
2. Dans chacun des cas, calculer la nouvelle valeur de ses actions.

Méthode

1. Traduire le pourcentage d’évolution en nombre décimal tt (qui peut être positif ou négatif) puis appliquer la formule CM=1+t.\text{CM} = 1 + t.

2. Pour chacune des évolutions, on a VD=110\mathrm{V}_{\mathrm{D}}=110 et on a calculé le coefficient multiplicateur. Pour calculer la valeur d’arrivée VA, \text{V}_{\text{A}} , on utilise la formule VA=CM×VD.\mathrm{V}_{\mathrm{A}}=\mathrm{CM} \times \mathrm{V}_{\mathrm{D}}.


SOLUTION

1. Dans le cas de l’augmentation de 10 % : CM=1+0,10=1,10.\text{CM} = 1 + 0{,}10 = 1{,}10.
Dans le cas de la baisse de 15 % : CM=10,15=0,85.\text{CM} = 1-0\text{,}15 = 0\text{,}85.

2. Si le cours de l’action augmente : 110×1,10=121110 \times 1{,}10=121 soit 121 €.
S'il baisse : 110×0,85=93,50110 \times 0\text{,}85=93\text{,}50 €.

Coefficient multiplicateur

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 259
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