Boire un thé ou café chaud en randonnée, rien de plus simple avec une bouteille thermos ! À condition de ne pas attendre trop longtemps...
Une bouteille thermos est une bouteille qui, comparée à des bouteilles traditionnelles, possède une forte résistance thermique. Cela lui permet de conserver plus longtemps des boissons chaudes ou des boissons fraîches.
On peut lire, sur les caractéristiques techniques de ces bouteilles, des évolutions de température moyenne à partir d'une température initiale annoncée. Il est possible de vérifier ces informations en suivant le protocole suivant.

Protocole de suivi de température à l'intérieur d'une bouteille thermos

• Porter à ébullition un volume d'eau correspondant approximativement au volume de la bouteille.
• Peser la bouteille thermos vide.
• Verser lentement l'eau bouillante dans la bouteille thermos et la remplir sans déborder.
• Mesurer la température de l'eau dans la bouteille thermos, notée ${\theta }_i$ et fermer la bouteille.
• Mesurer la masse de la bouteille pleine.
• Placer la bouteille dans un endroit relativement tempéré, sans grande variation de température.
• Attendre, puis mesurer, toutes les heures, la température de l'eau dans la bouteille en limitant au maximum la durée de la mesure pour éviter les pertes énergétiques.
• Une fois les mesures effectuées pendant une demi-journée, reporter les mesures dans un tableur-grapheur sur ordinateur.

La température à l'intérieur de la bouteille thermos évolue lentement au fil de la journée. On peut modéliser l'évolution de sa température par le modèle :
$\theta (t)={\theta }_{\text{f}}+\left({\theta }_{\text{i}}-{\theta }_{\text{f}}\right)\cdot \exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)$

1. Calculer $y=\ln \left(\theta (t)-{\theta }_{\mathrm{i}}\right)$ en utilisant une nouvelle colonne du tableur.

2. Représenter l'évolution de $y$ en fonction de $t$.

3. Afficher une courbe de tendance de type affine (ou linéaire selon les logiciels). Relever les valeurs du coefficient directeur $a$ de la droite et de l'ordonnée à l'origine $b$.

4. En identifiant $a$ et $b$ à partir de l'expression temporelle de la température $\theta (t)$, déterminer les valeurs ${\theta }_{\mathrm{f}}$ et $\tau$.