Un immeuble est modélisé par un parallélépipède de $20$ m de hauteur, de longueur $80$ m et de largeur $10$ m. La résistance thermique surfacique est égale à $r_s=3,26$ m²·K·W^-1 et tient compte du transfert thermique par convection. La température y est supposée homogène, égale à $20$ °C.
On estime qu'une population de cent personnes vit à l'intérieur. Chacune de ces personnes échange un flux thermique de l'ordre de $100$ W avec l'air à l'intérieur de l'immeuble. Seules les faces séparant l'air extérieur et l'immeuble contribuent aux pertes thermiques du bâtiment.

1. Déterminer la surface totale séparant l'air intérieur et l'extérieur.

2. Calculer la puissance du chauffage à installer dans l'immeuble pour maintenir une température constante de $20$ °C à l'intérieur lorsqu'il fait $-10$ °C à l'extérieur de l'immeuble.

3. Calculer la température finale de l'air dans l'immeuble si une panne se produit lorsque l'air à l'extérieur est à $5$ °C.

1. La surface totale correspond à la somme des surfaces du parallélépipède, à l'exception de la face séparant le sol de l'immeuble :
$S=L\cdot l+2h\cdot l+2L\cdot h$
AN : $S=80\times 10+2\times 20\times 10+2\times 20\times 80$$=4400$ m²

2. Pour maintenir une température intérieure constante, il faut établir un bilan thermique concernant l'air à l'intérieur de l'immeuble, en considérant les échanges thermiques avec les radiateurs, les habitants de l'immeuble et l'extérieur :
$P_{\text{chauffage }}=$$-{\varphi }_{\text{habitants }}-{\varphi }_{\text{ext }}$
$P_{\text{chauffage }}=$$-\frac{{\theta }_{\text{ext}}-\theta }{r_{\text{S}}}\cdot S-n\cdot {\varphi }_{\text{habitants}}$
AN : $P_{\text{chauffage }}=-\frac{-10-20}{3,26}\times 4400-100\times 100=3,0\times 10^4$ W

3. L'immeuble n'échange plus d'énergie avec le chauffage : il reçoit uniquement la somme des flux thermiques ${\varphi }_{\text{habitants }}+{\varphi }_{\text{ext }}$ :
$n\cdot {\varphi }_{\text{habitants }}+{\varphi }_{\text{ext }}$$=0$
$n\cdot {\varphi }_{\text{habitants }}+\frac{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}-{\theta }_{\mathrm{f}}}{R_{\mathrm{t}\mathrm{h}}}$$=0$

${\theta }_{\mathrm{f}}=n\cdot {\varphi }_{\text{habitants }}\cdot \frac{r_{\mathrm{S}}}{S}+{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$
AN : ${\theta }_{\mathrm{f}}=$$100\times 100\times \frac{3,26}{4400}+5=12$ °C

1. Réaliser un schéma de l'immeuble en y inscrivant les grandeurs (longueur, largeur et hauteur) pour déterminer la surface d'échange.

2. Déterminer l'expression des différents flux thermiques échangés.
Repérer les inconnues.
Utiliser alors l'expression $r_{\mathrm{S}}=R_{\mathrm{t}\mathrm{h}}\cdot S$ pour calculer $R_{\mathrm{t}\mathrm{h}}$.
Faire le bilan des échanges d'énergie pour trouver $P_{\text{chauffage }}$.

3. Établir l'équation différentielle d'un système au contact d'un thermostat en tenant compte du flux thermique échangé avec les habitants de l'immeuble.
Considérer une variation de température nulle en régime permanent.

Mise en application

Découvrez l'

exercice 42 p. 447

, pour travailler cette notion.