✔ RAI/MOD : Utiliser avec rigueur le modèle de l’énergie ✔ APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle
Énoncé
Un immeuble est modélisé par un parallélépipède de 20 m de hauteur, de longueur 80 m et de largeur 10 m. La résistance thermique surfacique est égale à rs=3,26 m2·K·W-1 et tient compte du transfert thermique par convection. La température y est supposée homogène, égale à 20 °C.
On estime qu’une population de cent personnes vit à l’intérieur. Chacune de ces personnes échange un flux thermique de l’ordre de 100 W avec l’air à l’intérieur de l’immeuble. Seules les faces séparant l’air extérieur et l’immeuble contribuent aux pertes thermiques du
bâtiment.
1. Déterminer la surface totale séparant l’air intérieur et l’extérieur.
2. Calculer la puissance du chauffage à installer dans l’immeuble pour maintenir une température constante de 20 °C à l’intérieur lorsqu’il fait −10 °C à l’extérieur de l’immeuble.
3. Calculer la température finale de l’air dans l’immeuble si une panne se produit lorsque l’air à l’extérieur est à 5 °C.
Donnée
Expression de la résistance thermique
surfacique rS : rS=Rth⋅S
rS : résistance thermique surfacique (m2·K·W-1) Rth : résistance thermique (K·W-1) S : surface de transfert thermique (m2)
Protocole de réponse
1. Réaliser un schéma de l’immeuble en y inscrivant les grandeurs (longueur, largeur et hauteur) pour déterminer la surface d’échange.
2. Déterminer l’expression des différents flux thermiques échangés.
Repérer les inconnues.
Utiliser alors l’expression rS=Rth⋅S pour calculer Rth.
Faire le bilan des échanges d’énergie pour trouver Pchauffage .
3. Établir l’équation différentielle d’un système au contact d’un thermostat en tenant compte du flux thermique échangé avec les habitants de l’immeuble.
Considérer une variation de température nulle en régime permanent.
Solution rédigée
1. La surface totale correspond à la somme des surfaces du parallélépipède, à l’exception de la face séparant le sol de l’immeuble : S=L⋅l+2h⋅l+2L⋅h
AN : S=80×10+2×20×10+2×20×80=4400 m2
2. Pour maintenir une température intérieure constante, il faut établir un bilan thermique concernant l’air à l’intérieur de l’immeuble, en considérant les échanges thermiques avec les radiateurs, les habitants de l’immeuble et l’extérieur : Pchauffage =−ϕhabitants −ϕext Pchauffage =−rSθext−θ⋅S−n⋅ϕhabitants
AN : Pchauffage =−3,26−10−20×4400−100×100=3,0×104 W
3. L’immeuble n’échange plus d’énergie avec le chauffage : il reçoit uniquement la somme des flux thermiques ϕhabitants +ϕext : n⋅ϕhabitants +ϕext =0 n⋅ϕhabitants +Rthθext−θf=0
θf=n⋅ϕhabitants ⋅SrS+θext
AN : θf=100×100×44003,26+5=12 °C