Chapitre 16
Exercices
Pour s'entraîner
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29Soupe trop chaude
✔ REA : Utiliser un modèle
Léa a des habitudes bien marquées. Elle met toujours la même quantité de soupe tous les soirs à réchauffer au micro-ondes, pour une même durée de chauffage. La soupe atteint par conséquent toujours la même température.
Trop chaude pour Léa, cette dernière doit souffler dessus pour la refroidir. Elle se rend compte, par expérience, que le fait de souffler permet à la soupe d'atteindre une température raisonnable trois fois plus rapidement que si elle la laissait à l'air libre.
Léa a des habitudes bien marquées. Elle met toujours la même quantité de soupe tous les soirs à réchauffer au micro-ondes, pour une même durée de chauffage. La soupe atteint par conséquent toujours la même température.
Trop chaude pour Léa, cette dernière doit souffler dessus pour la refroidir. Elle se rend compte, par expérience, que le fait de souffler permet à la soupe d'atteindre une température raisonnable trois fois plus rapidement que si elle la laissait à l'air libre.
1. Préciser le mode de transfert thermique favorisé par le souffle de Léa.
2. En déduire par combien le coefficient associé à ce mode de transfert entre l'air et la soupe est multiplié.
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30Refroidissement d'un processeur
✔ APP : Extraire l'information utile
Un processeur produit à pleine puissance un flux thermique de 100 W. Le flux thermique convectif forcé est modélisé par l'équation :
Un processeur produit à pleine puissance un flux thermique de 100 W. Le flux thermique convectif forcé est modélisé par l'équation :
\phi=\frac{\theta_{\mathrm{proc}}-\theta_{\mathrm{air}}}{R_{\mathrm{th}}}
\theta_{\text {air }} est supposée constante et égale à 15 °C.
Calculer la résistance thermique R_\text{th} pour une grosse ventilation et une faible ventilation.
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31Éolipyle
✔ REA : Appliquer une formule
L'éolipyle est la première machine à vapeur construite durant l'Antiquité. Son principe de fonctionnement repose sur un flux de vapeur qui met en mouvement une sphère.
1. Sachant que la mise en mouvement s'effectue dès que l'eau passe à l'état gazeux, déterminer l'écart de température entre la flamme et l'éolipyle.
2. Calculer le flux thermique échangé entre l'éolipyle et la flamme.
Retrouvez plus d'informations sur l'éolipyle .
2. Calculer le flux thermique échangé entre l'éolipyle et la flamme.
Données
- Température de la flamme : \theta_{\text {flamme }}=800 °C
- Résistance thermique totale de l'éolipyle : R_{\mathrm{th}}=0{,}50 K·W-1
Retrouvez plus d'informations sur l'éolipyle .
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32Comprendre les attendusChauffage à induction
✔ REA/MATH : Intégrer
Une casserole métallique est posée sur une plaque à induction qui génère dans le métal un flux thermique de 400 W. La capacité thermique du métal est négligée ainsi que les pertes thermiques. Le flux thermique initial échangé entre le métal et l'eau est modélisé par la relation \phi=h \cdot S \cdot\left(\theta_{\text {métal }}-\theta_{\text {eau }}\right). Le produit h \cdot s est égal à 10 W·K-1. La capacité thermique de la masse d'eau considérée est égale à C_{\text {eau }}=7{,}2 \times 10^{3} J·K-1.
Une casserole métallique est posée sur une plaque à induction qui génère dans le métal un flux thermique de 400 W. La capacité thermique du métal est négligée ainsi que les pertes thermiques. Le flux thermique initial échangé entre le métal et l'eau est modélisé par la relation \phi=h \cdot S \cdot\left(\theta_{\text {métal }}-\theta_{\text {eau }}\right). Le produit h \cdot s est égal à 10 W·K-1. La capacité thermique de la masse d'eau considérée est égale à C_{\text {eau }}=7{,}2 \times 10^{3} J·K-1.
1. Calculer la température du métal lorsque \theta_{\mathrm{eau}}=20 °C.
2. En considérant le premier principe de la thermodynamique, calculer la durée de chauffage nécessaire pour amener l'eau à sa température de vaporisation.
Détails du barème
TOTAL /4 pts
1 pt
1. Écrire la formule littérale et compléter les valeurs connues
1 pt
2. Effectuer un bilan d'énergie.
1 pt
2. Exprimer le premier principe de la thermodynamique.
1 pt
2. Calculer \Delta t.
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33Effet de serre
✔ APP : Faire des prévisions à l'aide d'un modèle
Le fonctionnement d'une serre ne repose pas sur le principe de l'effet de serre, mais sur la disparition des échanges thermiques dus à la convection entre la terre et l'air ambiant.
On considère dans un premier temps un lopin de terre sans serre. La terre transmet à l'air ambiant 102 W·m-2 de flux surfacique par convection.
Le fonctionnement d'une serre ne repose pas sur le principe de l'effet de serre, mais sur la disparition des échanges thermiques dus à la convection entre la terre et l'air ambiant.
On considère dans un premier temps un lopin de terre sans serre. La terre transmet à l'air ambiant 102 W·m-2 de flux surfacique par convection.
1. Effectuer un bilan d'énergie en considérant les flux thermiques surfaciques reçus de l'extérieur \varphi_{\mathrm{ext}} par la terre, perdus par convection \varphi_{\mathrm{conv}} et émis par rayonnement \varphi_{\mathrm{ray}}.
2. Calculer le flux thermique surfacique reçu de l'extérieur \varphi_{\mathrm{ext}}.
2. Calculer le flux thermique surfacique reçu de l'extérieur \varphi_{\mathrm{ext}}.
On considère désormais le même lopin de terre, avec une serre installée. Le flux thermique surfacique reçu de l'extérieur est équivalent, mais les échanges thermiques avec l'air par convection sont désormais nuls.
3. Déterminer la température de la terre sous la serre. Préciser quel est le véritable phénomène responsable de cette augmentation de la température.
3. Déterminer la température de la terre sous la serre. Préciser quel est le véritable phénomène responsable de cette augmentation de la température.
Données
- Température moyenne de la surface de la Terre : T=288 \mathrm{K}
- Expression de la loi de Stefan-Boltzmann : \varphi=\sigma \cdot T^{4}
- Constante de Stefan-Boltzmann : \sigma=5{,}67 \times 10^{-8} W·m-2·K-4
Doc.
Robert Williams Wood
Robert Williams Wood, physicien, construisit deux serres. La première avec du verre, la seconde avec de l'halite, un matériau n'absorbant pas les infrarouges. Il montra que l'évolution de la température sous la serre en halite était la même que sous celle en verre.
Cette expérience a permis de démontrer que l'effet de serre n'était pas responsable de la température élevée sous… une serre.
Cette expérience a permis de démontrer que l'effet de serre n'était pas responsable de la température élevée sous… une serre.
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34Temps de réponse d'un thermomètre
✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle
Un thermomètre n'est pas un instrument idéal. Il possède une capacité thermique qui lui donne une certaine inertie. Un suivi de la température est réalisé avec deux thermomètres du même modèle, l'un placé dans l'air et l'autre dans de l'eau à 71 °C.
1. Déterminer le temps caractéristique \tau pour l'eau et
pour l'air.
2. En appliquant le premier principe de la thermodynamique, établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la température du fluide à l'intérieur du thermomètre.
3. Déterminer la capacité thermique du thermomètre.
Données
- Coefficient de Newton estimé pour le flux thermique entre l'eau et
le thermomètre :
h = 200 W·m-2·K-1 - Surface du thermomètre :
S = 2{,}0 cm2
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35
Copie d'élève à commenter
Proposer un commentaire pour chaque erreur relevée dans la copie suivante.
On étudie ici l'expérience réalisée par Buffon pour estimer l'âge de la Terre. Dans son expérience, celui-ci a chauffé à blanc (environ \text{1 200} °C) des boulets de fer de différents diamètres et a mesuré la durée de refroidissement de ces boulets dans une pièce à température ambiante (\text{20} °C). La température des boulets suit la loi suivante :
\frac{\text{d} T}{\text{d} t}=k \cdot\left(T_{\text{ext}}-T\right)
1. Déterminer l'expression de la température d'un boulet au cours du temps.
La résolution de l'équation différentielle donne \color{red}
\cancel{\color{black}{T=\left(T_{0}-T_{\text{ext}}\right)} \cdot t} où T_{0} est la température à l'instant initial
2. En déduire la température finale de la boule.
La température finale de la boule sera la moyenne entre la température initiale et la température extérieure, soit :
\color{red} \cancel{\color{black}{T_{f}=\frac{T_{0}-T_{\text{ext}}}{2}}}
\color{red} \cancel{\color{black}{T_{f}=\frac{T_{0}-T_{\text{ext}}}{2}}}
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36Problème de calcaire
✔ VAL : Exploiter un ensemble de mesures
Du calcaire peut se déposer autour des résistors d'un chauffe-eau et limiter ses performances. On considère un résistor de \text{0,10} m2 de surface et une température de l'eau \theta_{\mathrm{eau}}=60 °C. Le calcaire est supposé être à la même température.
1. Calculer le flux thermique lorsque la température du résistor est égale à 100 °C et que l'épaisseur du dépôt de calcaire e = 1 mm.
2. Calculer la température atteinte par le résistor si un dépôt de calcaire de \text{1} cm se déposait sur celui-ci, alimenté par une puissance de 1 kW.
2. Calculer la température atteinte par le résistor si un dépôt de calcaire de \text{1} cm se déposait sur celui-ci, alimenté par une puissance de 1 kW.
Données
- Expression de la résistance thermique :
R_{t h}=\frac{e}{\lambda \cdot S} - Conductivité thermique du calcaire :
\lambda=0{,}2 W·m-1·K-1
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37Yaourt ferme
✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle
La fabrication d'un yaourt ferme nécessite de laisser des ferments se multiplier dans le lait pendant 3 h à 43 °C. Ils sont ensuite conditionnés en pots et mis à refroidir dans un réfrigérateur thermostaté à 4 °C.
La fabrication d'un yaourt ferme nécessite de laisser des ferments se multiplier dans le lait pendant 3 h à 43 °C. Ils sont ensuite conditionnés en pots et mis à refroidir dans un réfrigérateur thermostaté à 4 °C.
Doc.
Production industrielle de yaourt ferme
Le flux thermique échangé entre le pot de yaourt et le
réfrigérateur est modélisé par :
La masse de yaourt est notée m et sa capacité thermique massique notée c.
\phi=h \cdot S \cdot\left(T-T_{\text {réfrigérateur }}\right)
La masse de yaourt est notée m et sa capacité thermique massique notée c.
1. Préciser le mode de transfert thermique permettant le refroidissement du yaourt ferme.
2. À partir de l'expression du flux thermique, calculer la résistance thermique R_{\mathrm{th}}.
3. Établir l'équation différentielle selon la température T du yaourt ferme en utilisant le premier principe de la thermodynamique.
2. À partir de l'expression du flux thermique, calculer la résistance thermique R_{\mathrm{th}}.
3. Établir l'équation différentielle selon la température T du yaourt ferme en utilisant le premier principe de la thermodynamique.
4. Résoudre l'équation différentielle en utilisant les conditions initiales et finales.
5. Déterminer la température atteinte par le yaourt ferme au bout de 3 min.
6. Déterminer la durée nécessaire au yaourt ferme pour qu'il atteigne une température de 10 °C.
5. Déterminer la température atteinte par le yaourt ferme au bout de 3 min.
6. Déterminer la durée nécessaire au yaourt ferme pour qu'il atteigne une température de 10 °C.
Données
- Masse de yaourt dans un pot :
m = 100 g - Capacité thermique massique du yaourt ferme :
c = 3\:840 J·kg-1·K-1 - Surface d'échange entre l'air du réfrigérateur et le yaourt :
S = 0{,}010 m2 - Coefficient de Newton entre l'air du réfrigérateur et le yaourt
ferme :
h = 25 W·m-2·K-1
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38Température finale d'un four solaire
✔ RAI/ANA : Utiliser et interpréter des documents
Le four solaire d'Odeillo est l'un des plus grands au monde. On s'intéresse à la cible circulaire qui reçoit le flux thermique concentré.
Le four solaire d'Odeillo est l'un des plus grands au monde. On s'intéresse à la cible circulaire qui reçoit le flux thermique concentré.
Doc.
Principe de fonction du four d'Odeillo
Le four solaire d'Odeillo est un four fonctionnant à l'énergie solaire. Une première série de miroirs sur une pente éloignée réfléchissent les rayons du Soleil vers un miroir parabolique qui les concentre sur une cible circulaire de \text{40} cm de diamètre. Le flux thermique reçu par la cible correspond à \text{10 000} fois celui envoyé par le Soleil seul sur cette même cible. La puissance thermique reçue est de l'ordre de 1 MW.
1. Calculer la surface de miroir nécessaire pour récupérer le flux thermique à l'aide des données fournies.
2. Justifier que le flux thermique reçu par la cible est équivalent à \text{10 000} fois celui qu'elle recevrait du Soleil de par sa seule surface.
2. Justifier que le flux thermique reçu par la cible est équivalent à \text{10 000} fois celui qu'elle recevrait du Soleil de par sa seule surface.
3. En supposant que la cible est en équilibre thermique, calculer sa température de surface.
Données
- Flux solaire surfacique à l'altitude d'Odeillo :
\varphi=1\ 000 W·m-2 - Expression de la loi de Stefan-Boltzmann :
\varphi=\sigma \cdot T^{4} - Constante de Stefan-Boltzmann :
\sigma=5{,}67 \times 10^{-8} W·m‑2·K‑4.
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ABouilloire
✔ RAI/MOD : Utiliser avec rigueur le modèle de l'énergie
On place 1 kg d'eau dans une bouilloire de puissance P. Et on mesure le temps nécessaire pour atteindre l'ébullition. On suppose que la température du système {eau + bouilloire} est homogène à tout instant. On suppose également que la température extérieure T_{ext} est constante, et que la température initiale du système {eau + bouilloire} est égale à T_{ext}.
On place 1 kg d'eau dans une bouilloire de puissance P. Et on mesure le temps nécessaire pour atteindre l'ébullition. On suppose que la température du système {eau + bouilloire} est homogène à tout instant. On suppose également que la température extérieure T_{ext} est constante, et que la température initiale du système {eau + bouilloire} est égale à T_{ext}.
1. Calculer la capacité thermique C du système {bouilloire + eau}.
2. On suppose dans un premier temps que la bouilloire est parfaitement calorifugée. À l'aide du premier principe de la thermodynamique, déterminer la durée \Delta t_1 nécessaire pour que le système {eau + bouilloire} atteigne la température d'ébullition.
En réalité, il faut un temps plus long pour atteindre l'ébullition, ceci est dû au fait que la bouilloire n'est pas parfaitement calorifugée, elle a une certaine résistance thermique R_{th}. Et il y a donc un flux thermique vers l'extérieur, noté \Phi.
3. Exprimer \Phi en fonction de la température du système T, de la température extérieure T_{ext}, et de R_{th}.
4. Quelle relation existe-t-il entre \Phi et P à l'équilibre thermique ?
4. Quelle relation existe-t-il entre \Phi et P à l'équilibre thermique ?
5. En déduire l'expression et la valeur numérique de la température à l'équilibre thermique T_{eq}.
Le premier principe de la thermodynamique appliqué sur une durée infinitésimale donne :
\dfrac{\text{d}U}{\text{d}t} = C \cdot \dfrac{\text{d} T}{\text{d}t}
6. Montrer que la température vérifie une équation différentielle de la forme :
\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} + \dfrac{T}{\tau} = \dfrac{T_{eq}}{\tau}
7. Exprimer et calculer \tau.
8. Que remarque‑t‑on pour T=T_{eq} ? Est‑ce cohérent ?
\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} + \dfrac{T}{\tau} = \dfrac{T_{eq}}{\tau}
7. Exprimer et calculer \tau.
8. Que remarque‑t‑on pour T=T_{eq} ? Est‑ce cohérent ?
La solution de cette équation différentielle est T = T_{eq} + (T_{ext} - T_{eq}) \cdot \exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right).
9. Calculer la durée \Delta t_2 nécessaire pour atteindre l'ébullition.
9. Calculer la durée \Delta t_2 nécessaire pour atteindre l'ébullition.
Données
- Température extérieure : \theta_{ext} = 20 °C
- Capacité thermique massique de l'eau : c_{eau} = 4{,}18 kJ·kg-1·K-1
- Capacité thermique de la bouilloire : C_b = 930 J·K-1
- Puissance de la bouilloire : P = 2{,}00 kW
- Résistance thermique de la bouilloire : R_{th} = 0{,}22 K·W-1
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BTempérature ressentie
✔ REA : Utiliser un modèle
La sensation de chaleur n'est pas liée à la température extérieure, mais au flux de chaleur émis par le corps. C'est pour cela qu'on a davantage froid lorsqu'il y a du vent, même si la température est la même. Les météorologues utilisent ce phénomène pour définir une « température ressentie ».
On suppose que le métabolisme permet de maintenir le corps à une température constante {T} = 37 °C.
La sensation de chaleur n'est pas liée à la température extérieure, mais au flux de chaleur émis par le corps. C'est pour cela qu'on a davantage froid lorsqu'il y a du vent, même si la température est la même. Les météorologues utilisent ce phénomène pour définir une « température ressentie ».
On suppose que le métabolisme permet de maintenir le corps à une température constante {T} = 37 °C.
1. Exprimer le flux surfacique \varphi de chaleur émis par le corps en fonction de son coefficient de Newton \text{h} de sa température {T} et de la température extérieure {T}_{ext}.
On définit la température ressentie {T}_{res} comme la température extérieure qui induit le même flux \varphi, mais lorsqu'il n'y a pas de vent. Ce qui se traduit par la relation \varphi({T}_{res}, sans vent) = \varphi({T}_{res}, avec vent).
2. Exprimer puis calculer la température ressentie pour une température {T}^{\prime}_{ext} = 10 °C, un vent de 50 km·h-1, et sans tenir compte des vêtements.
On définit la température ressentie {T}_{res} comme la température extérieure qui induit le même flux \varphi, mais lorsqu'il n'y a pas de vent. Ce qui se traduit par la relation \varphi({T}_{res}, sans vent) = \varphi({T}_{res}, avec vent).
2. Exprimer puis calculer la température ressentie pour une température {T}^{\prime}_{ext} = 10 °C, un vent de 50 km·h-1, et sans tenir compte des vêtements.
3. a. Calculer les coefficient de Newton \text{h}_1^{\prime} et \text{h}_2^{\prime} respectivement sans et avec vent, pour une personne portant des vêtement en laine d'épaisseur e = 2{,}0 cm.
b. Calculer la température ressentie pour une température {T}_{ext} = 10 °C, un vent de 50 km·h-1, en considérant une personne portant des vêtement en laine d'épaisseur e = 2{,}0 cm.
b. Calculer la température ressentie pour une température {T}_{ext} = 10 °C, un vent de 50 km·h-1, en considérant une personne portant des vêtement en laine d'épaisseur e = 2{,}0 cm.
Doc. 1
Isolants thermiques
Le coefficient de Newton d'un matériau isolant est inversement proportionnel à son épaisseur e. On définit alors la conductivité thermique (noté \lambda) : \text{h}_{\text{isolant}} = \dfrac{\lambda_{\text{isolant}}}{e}
Données
- Coefficient de Newton du corps humain : \text{h}_1 = 10 W·m-2·K-1
- Coefficient de Newton du corps humain avec un vent de 50 km·h-1 : \text{h}_2 = 20 W·m-2·K-1
- Conductivité thermique de la laine : \lambda_{\text{laine}} = 0{,}05 W·m-1·K-1
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