Exercices

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Soupe trop chaude

✔ REA : Utiliser un modèle

Léa a des habitudes bien marquées. Elle met toujours la même quantité de soupe tous les soirs à réchauffer au micro-ondes, pour une même durée de chauffage. La soupe atteint par conséquent toujours la même température.
Trop chaude pour Léa, cette dernière doit souffler dessus pour la refroidir. Elle se rend compte, par expérience, que le fait de souffler permet à la soupe d’atteindre une température raisonnable trois fois plus rapidement que si elle la laissait à l’air libre.

1. Préciser le mode de transfert thermique favorisé par le souffle de Léa.


2. En déduire par combien le coefficient associé à ce mode de transfert entre l’air et la soupe est multiplié.

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Refroidissement d’un processeur

✔ APP : Extraire l’information utile

Un processeur produit à pleine puissance un flux thermique de $100$ W. Le flux thermique convectif forcé est modélisé par l’équation :
$\varphi =\frac{{\theta }_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{c}}-{\theta }_{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}}{R_{\mathrm{t}\mathrm{h}}}$
${\theta }_{\text{air }}$ est supposée constante et égale à 15 °C.

⬥ Calculer la résistance thermique $R_{\text{th}}$ pour une grosse ventilation et une faible ventilation.

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Éolipyle

✔ REA : Appliquer une formule

L’éolipyle est la première machine à vapeur construite durant l’Antiquité. Son principe de fonctionnement repose sur un flux de vapeur qui met en mouvement une sphère.

1. Sachant que la mise en mouvement s’effectue dès que l’eau passe à l’état gazeux, déterminer l’écart de température entre la flamme et l’éolipyle.


2. Calculer le flux thermique échangé entre l’éolipyle et la flamme.

Données

• Température de la flamme : ${\theta }_{\text{flamme }}=800$ °C
• Résistance thermique totale de l’éolipyle : $R_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=0,50$ K·W^-1

Retrouvez plus d’informations sur l’éolipyle sur en cliquant ici.

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Effet de serre

✔ APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

Le fonctionnement d’une serre ne repose pas sur le principe de l’effet de serre, mais sur la disparition des échanges thermiques dus à la convection entre la terre et l’air ambiant.
On considère dans un premier temps un lopin de terre sans serre. La terre transmet à l’air ambiant $102$ W·m^-2 de flux surfacique par convection.

1. Effectuer un bilan d’énergie en considérant les flux thermiques surfaciques reçus de l’extérieur ${\phi }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$ par la terre, perdus par convection ${\phi }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}}$ et émis par rayonnement ${\phi }_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{y}}$.


2. Calculer le flux thermique surfacique reçu de l’extérieur ${\phi }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$.


On considère désormais le même lopin de terre, avec une serre installée. Le flux thermique surfacique reçu de l’extérieur est équivalent, mais les échanges thermiques avec l’air par convection sont désormais nuls.

3. Déterminer la température de la terre sous la serre. Préciser quel est le véritable phénomène responsable de cette augmentation de la température.

Données

• Température moyenne de la surface de la Terre : $T=288\mathrm{K}$
• Expression de la loi de Stefan-Boltzmann : $\phi =\sigma \cdot T^4$
• Constante de Stefan-Boltzmann : $\sigma =5,67\times 10^{-8}$ W·m^-2·K^-4

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Temps de réponse d’un thermomètre

✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle

Un thermomètre n’est pas un instrument idéal. Il possède une capacité thermique qui lui donne une certaine inertie. Un suivi de la température est réalisé avec deux thermomètres du même modèle, l’un placé dans l’air et l’autre dans de l’eau à $71$ °C.

1. Déterminer le temps caractéristique $\tau$ pour l’eau et pour l’air.


2. En appliquant le premier principe de la thermodynamique, établir l’équation différentielle régissant l’évolution de la température du fluide à l’intérieur du thermomètre.


3. Déterminer la capacité thermique du thermomètre.

Données

• Coefficient de Newton estimé pour le flux thermique entre l’eau et le thermomètre :
  $h=200$ W·m^-2·K^-1
• Surface du thermomètre :
  $S=2,0$ cm²

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Problème de calcaire

✔ VAL : Exploiter un ensemble de mesures

Du calcaire peut se déposer autour des résistors d’un chauffe-eau et limiter ses performances. On considère un résistor de $\text{0,10}$ m² de surface et une température de l’eau ${\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{u}}=60$ °C. Le calcaire est supposé être à la même température.


1. Calculer le flux thermique lorsque la température du résistor est égale à $100$ °C et que l’épaisseur du dépôt de calcaire $e=1$ mm.


2. Calculer la température atteinte par le résistor si un dépôt de calcaire de $\text{1}$ cm se déposait sur celui-ci, alimenté par une puissance de $1$ kW.

Données

• Expression de la résistance thermique :
  $R_{th}=\frac{e}{\lambda \cdot S}$
• Conductivité thermique du calcaire :
  $\lambda =0,2$ W·m^-1·K^-1

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Yaourt ferme

✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle

La fabrication d’un yaourt ferme nécessite de laisser des ferments se multiplier dans le lait pendant $3$ h à $43$ °C. Ils sont ensuite conditionnés en pots et mis à refroidir dans un réfrigérateur thermostaté à $4$ °C.


Le flux thermique échangé entre le pot de yaourt et le réfrigérateur est modélisé par :

La masse de yaourt est notée m et sa capacité thermique massique notée $c$.

1. Préciser le mode de transfert thermique permettant le refroidissement du yaourt ferme.


2. À partir de l’expression du flux thermique, calculer la résistance thermique $R_{\mathrm{t}\mathrm{h}}$.


3. Établir l’équation différentielle selon la température $T$ du yaourt ferme en utilisant le premier principe de la thermodynamique.


4. Résoudre l’équation différentielle en utilisant les conditions initiales et finales.


5. Déterminer la température atteinte par le yaourt ferme au bout de $3$ min.


6. Déterminer la durée nécessaire au yaourt ferme pour qu’il atteigne une température de $10$ °C.

Données

• Masse de yaourt dans un pot :
  $m=100$ g
• Capacité thermique massique du yaourt ferme :
  $c=3840$ J·kg^-1·K^-1
• Surface d’échange entre l’air du réfrigérateur et le yaourt :
  $S=0,010$ m²
• Coefficient de Newton entre l’air du réfrigérateur et le yaourt ferme :
  $h=25$ W·m^-2·K^-1

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Température finale d’un four solaire

✔ RAI/ANA : Utiliser et interpréter des documents

Le four solaire d’Odeillo est l’un des plus grands au monde. On s’intéresse à la cible circulaire qui reçoit le flux thermique concentré.


Le four solaire d’Odeillo est un four fonctionnant à l’énergie solaire. Une première série de miroirs sur une pente éloignée réfléchissent les rayons du Soleil vers un miroir parabolique qui les concentre sur une cible circulaire de $\text{40}$ cm de diamètre. Le flux thermique reçu par la cible correspond à $\text{10 000}$ fois celui envoyé par le Soleil seul sur cette même cible. La puissance thermique reçue est de l’ordre de $1$ MW.

1. Calculer la surface de miroir nécessaire pour récupérer le flux thermique à l’aide des données fournies.


2. Justifier que le flux thermique reçu par la cible est équivalent à $\text{10 000}$ fois celui qu’elle recevrait du Soleil de par sa seule surface.


3. En supposant que la cible est en équilibre thermique, calculer sa température de surface.

Données

• Flux solaire surfacique à l’altitude d’Odeillo :
  $\phi =1000$ W·m^-2
• Expression de la loi de Stefan-Boltzmann :
  $\phi =\sigma \cdot T^4$
• Constante de Stefan-Boltzmann :
  $\sigma =5,67\times 10^{-8}$ W·m^‑2·K^‑4.

A

Bouilloire

✔ RAI/MOD : Utiliser avec rigueur le modèle de l’énergie

On place 1 kg d’eau dans une bouilloire de puissance $P$. Et on mesure le temps nécessaire pour atteindre l’ébullition. On suppose que la température du système {eau + bouilloire} est homogène à tout instant. On suppose également que la température extérieure $T_{ext}$ est constante, et que la température initiale du système {eau + bouilloire} est égale à $T_{ext}$.

1. Calculer la capacité thermique $C$ du système {bouilloire + eau}.


2. On suppose dans un premier temps que la bouilloire est parfaitement calorifugée. À l’aide du premier principe de la thermodynamique, déterminer la durée $\Delta t_1$ nécessaire pour que le système {eau + bouilloire} atteigne la température d’ébullition.


En réalité, il faut un temps plus long pour atteindre l'ébullition, ceci est dû au fait que la bouilloire n’est pas parfaitement calorifugée, elle a une certaine résistance thermique $R_{th}$. Et il y a donc un flux thermique vers l’extérieur, noté $\Phi$.

3. Exprimer $\Phi$ en fonction de la température du système $T$, de la température extérieure $T_{ext}$, et de $R_{th}$.


4. Quelle relation existe‑t‑il entre $\Phi$ et $P$ à l’équilibre thermique ?


5. En déduire l’expression et la valeur numérique de la température à l’équilibre thermique $T_{eq}$.


Le premier principe de la thermodynamique appliqué sur une durée infinitésimale donne :
$\frac{\text{d}U}{\text{d}t}=C\cdot \frac{\text{d}T}{\text{d}t}$

6. Montrer que la température vérifie une équation différentielle de la forme :
$\frac{\text{d}T}{\text{d}t}+\frac{T}{\tau }=\frac{T_{eq}}{\tau }$


7. Exprimer et calculer $\tau$.


8. Que remarque‑t‑on pour $T=T_{eq}$ ? Est‑ce cohérent ?


La solution de cette équation différentielle est $T=T_{eq}+(T_{ext}-T_{eq})\cdot \exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)$.

9. Calculer la durée $\Delta t_2$ nécessaire pour atteindre l’ébullition.

Données

• Température extérieure : ${\theta }_{ext}=20$ °C
• Capacité thermique massique de l’eau : $c_{eau}=4,18$ kJ·kg^-1·K^-1
• Capacité thermique de la bouilloire : $C_b=930$ J·K^-1
• Puissance de la bouilloire : $P=2,00$ kW
• Résistance thermique de la bouilloire : $R_{th}=0,22$ K·W^-1

B

Température ressentie

✔ REA : Utiliser un modèle

La sensation de chaleur n’est pas liée à la température extérieure, mais au flux de chaleur émis par le corps. C’est pour cela qu’on a davantage froid lorsqu’il y a du vent, même si la température est la même. Les météorologues utilisent ce phénomène pour définir une « température ressentie ».

On suppose que le métabolisme permet de maintenir le corps à une température constante $T=37$ °C.

1. Exprimer le flux surfacique $\phi$ de chaleur émis par le corps en fonction de son coefficient de Newton $\text{h}$ de sa température $T$ et de la température extérieure $T_{ext}$.


On définit la température ressentie $T_{res}$ comme la température extérieure qui induit le même flux $\phi$, mais lorsqu’il n’y a pas de vent. Ce qui se traduit par la relation $\phi$($T_{res}$, sans vent) $=$ $\phi$($T_{res}$, avec vent).

2. Exprimer puis calculer la température ressentie pour une température $T_{ext}^{\prime }=10$ °C, un vent de 50 km·h^-1, et sans tenir compte des vêtements.


3. a. Calculer les coefficient de Newton ${\text{h}}_1^{\prime }$ et ${\text{h}}_2^{\prime }$ respectivement sans et avec vent, pour une personne portant des vêtement en laine d’épaisseur $e=2,0$ cm.


b. Calculer la température ressentie pour une température $T_{ext}=10$ °C, un vent de 50 km·h^-1, en considérant une personne portant des vêtement en laine d’épaisseur $e=2,0$ cm.


Isolants thermiques

Données

• Coefficient de Newton du corps humain : ${\text{h}}_1=10$ W·m^-2·K^-1
• Coefficient de Newton du corps humain avec un vent de 50 km·h-1 : ${\text{h}}_2=20$ W·m^-2·K^-1
• Conductivité thermique de la laine : ${\lambda }_{\text{laine}}=0,05$ W·m^-1·K^-1