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Refroidissement au congélateur

Objectifs

• Effectuer un bilan d’énergie et établir l’expression de la température du système en fonction du temps.

Doc. 1

Loi de Newton

La loi de Newton pour les transferts thermiques est une loi phénoménologique qui exprime le flux thermique reçu par un système au travers d’une paroi en fonction de l’écart de température entre l’extérieur et le système :
$\phi=h \cdot S \cdot\left(\theta_{\mathrm{ext}}-\theta\right)$

Cette loi est dite phénoménologique, car $h$ dépend de nombreux paramètres (rugosité de la paroi, nature du fluide, etc.) et ne peut être déterminé que par des mesures expérimentales.

Doc. 2

Température d’un système

D’après le premier principe, la variation d’énergie interne $\Delta U$ du système est égale à l’énergie reçue ou cédée à l’extérieur $Q$ :
$\Delta U=Q$ En dérivant par rapport au temps $t,$ on obtient :
$m \cdot c \cdot \dfrac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=h \cdot S \cdot\left(\theta_{\mathrm{ext}}-\theta\right)$

$\dfrac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}+\dfrac{\theta}{\tau}=\dfrac{\theta_{\mathrm{ext}}}{\tau}$
Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme :
$\theta(t)=A \cdot \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)+B$
On précise que $\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\exp (-x)=0$.

Doc. 3

Évolution de la température

La courbe représentée correspond à l’évolution de la température $\theta$ d’un volume d’eau en fonction du temps $t$ dans un réfrigérateur à 5 °C. La tangente à l’origine coupe l’asymptote horizontale en $t=\tau$.

✔ VAL : Analyser des résultats

✔ APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

1. Déterminer la température de l’eau à l’instant initial $t = 0$. En déduire la valeur de $A + B$.


2. Au vu de l’évolution de $\theta(t)$ et de la valeur limite vers laquelle elle tend, déterminer la valeur de $B$, puis celle de $A$.


3. Exprimer la température $\theta(t)$ initialement à $\theta_\text{i}$ au contact d’un thermostat $\theta_{\mathrm{ext}}$.


4. Donner l’expression de $\tau$ en fonction de $m, c, h$ et $S$ et la déterminer graphiquement.

Déterminer la durée nécessaire $\Delta t$ pour que le thé atteigne la température de 5 °C en utilisant un congélateur à -18 °C.