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Peinture d’une terrasse
P.442

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Exercice corrigé




Peinture d’une terrasse

RAI/MOD : Utiliser avec rigueur le modèle de l’énergie
COM : Rédiger correctement une résolution d’exercice

Énoncé

Robin souhaite comprendre l’influence de la couleur d’une terrasse sur la température de l’air à sa surface. En été, lorsque les rayons du Soleil arrivent avec 70° d’inclinaison par rapport au sol, le flux thermique surfacique atteint 1 200\text{1 200} W·m-2.
Le coefficient de convection par vent calme est défini avec h=10h = 10 W·m-2·K-1. Le flux thermique surfacique produit par l’atmosphère est de 150 W·m-2. L’équilibre thermique de l’air à la surface de la terrasse est très rapidement atteint et la température est égale à 3030 °C.
On souhaite comparer deux couleurs de peinture modifiant la valeur de l’albédo α\alpha. Une noire provoquant un albédo de 1010 % et une seconde blanche avec un albédo de 9090 %.

1. Faire un bilan d’énergie lorsque l’albédo de la terrasse vaut 0,10\text{0,10}.

2. Soit la fonction ff telle que f(T)=σT4+hTf(T)=\sigma \cdot T^{4}+h \cdot T. Tracer la courbe représentative de la fonction ff et chercher la valeur de TT pour laquelle f(T)=hTair+(1α)φs+φatmf(T)=h \cdot T_{\mathrm{air}}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{s}}+\varphi_{\mathrm{atm}}.

3. Faire de même pour un albédo de 0,90\text{0,90}. Conclure.

Terrasse ensoleillée

Donnée

  • Expression de la loi de Stefan-Boltzmann :
    φ=σT4\varphi=\sigma \cdot T^{4}
  • φ\varphi : flux thermique surfacique rayonné (W·m-2)
    σ\sigma : constante de Stefan-Boltzmann égale à
    σ=5,67×108\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8} W·m-2·K-4
    TT : température de surface (K)

Protocole de réponse

1. Faire un schéma pour représenter les différents flux.
Vérifier le signe de chaque expression (positif si le flux rentre, négatif sinon).
Se souvenir de la définition de l’albédo α\alpha, la part de rayonnement non absorbé par la terrasse. La part de rayonnement absorbé est donc 1α1 - \alpha.
Écrire l’équation f(T)f(T) sous forme numérique avec une seule variable TT pour pouvoir l’écrire dans la calculatrice.

2. Recopier la fonction f(T)f(T) à la calculatrice et chercher pour quelle valeur de TT la fonction f(T)f(T) vaut hTair+(1α)φS+φatmh \cdot T_{\mathrm{air}}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{S}}+\varphi_{\mathrm{atm}}.

3. Si les deux premières questions ont été traitées correctement, il suffit de modifier les valeurs numériques correspondantes. Conclure en donnant du sens à ces valeurs.

Solution rédigée

1. La terrasse reçoit un flux thermique surfacique positif αφS\alpha \cdot \varphi_{\mathrm{S}} provenant du Soleil. Un second flux positif φatm\varphi_{\mathrm{atm}} est dû à l’émission par rayonnement de l’atmosphère. La terrasse libère un flux surfacique φterrasse =σT4\varphi_{\text {terrasse }}=-\sigma \cdot T^{4} négatif par rayonnement et échange φair =h(Tair T)\varphi_{\text {air }}=h \cdot\left(T_{\text {air }}-T\right) par convection avec l’air.
À l’équilibre, l’équation est la suivante :
(1α)φs+φatm+φterrasse+φair=0(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{s}}+\varphi_{\mathrm{atm}}+\varphi_{\mathrm{terrasse}}+\varphi_{\mathrm{air}}=0
(1α)φS+φatmσT4+h(TairT)=0(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{S}}+\varphi_{\mathrm{atm}}-\sigma \cdot T^{4}+h \cdot\left(T_{\mathrm{air}}-T\right)=0
σT4+hT=hTair+(1α)φs+φatm\sigma \cdot T^{4}+h \cdot T=h \cdot T_{\mathrm{air}}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{s}}+\varphi_{\mathrm{atm}}

2. On note φ\varphi le flux surfacique correspondant à :
φ=hTair+(1α)φs+φatm\varphi=h \cdot T_{\mathrm{air}}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{s}}+\varphi_{\mathrm{atm}}
AN : φ=10×(30+273,15)+(10,1)×1200+150=4 300\varphi=10 \times(30+273{,}15)+(1-0{,}1) \times 1200+150=4\ 300 W·m-2
Le tracé de la courbe représentative à la calculatrice permet de constater que f(T)=4 300f(T)=4\ 300 W·m-2 pour T=351T = 351 K, soit 7878 °C.

3. En modifiant la valeur de l’albédo et pour f(T)=hTair +(1α)φS+φatm=3 300f(T)=h \cdot T_{\text {air }}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{S}}+\varphi_{\mathrm{atm}}=3\ 300 W·m-1, la température TT vaut 292\text{292} K, soit 19\text{19} °C.
Voir les réponses

Mise en application

Découvrez l'exercice 33 p. 444, pour travailler cette notion.

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