Lorsqu'un système incompressible de température
T échange uniquement de l'énergie avec une paroi thermostatée à une température
Text , le premier principe de la thermodynamique s'écrit :
En dérivant par rapport au temps cette égalité, on peut établir que :
La dérivée de l'énergie interne
U par rapport au temps
t est égale au flux thermique. Au contact d'un thermostat et sans changement d'état du système, tout peut s'exprimer en fonction de la seule variable
T, la température du système. En utilisant la capacité thermique massique
c :
ΔU=m⋅c⋅(Text−T)
On obtient :
De même, le flux thermique, si on ne tient compte que du transfert conducto-convectif, s'exprime avec la loi de Newton :
ϕ=h⋅S⋅(Text−T)
Ainsi, l'équation devient :
m⋅c⋅dtdTm⋅c⋅dtdT+h⋅S⋅T=h⋅S⋅(Text−T)=h⋅S⋅Text
Cette équation est une équation différentielle. La variation de température d'un système au cours du temps est proportionnelle à la différence de température entre le système et le thermostat.