Chapitre 13


Cours




3
Approche de la deuxième loi de Newton

Analyse dimensionnelle

ΔvΔt\dfrac {\Delta \vec v}{\Delta t} s’exprime en (m·s-1)·s-1 donc en m·s-2.
D’après la relation approchée de la deuxième loi de Newton, la valeur de la force résultante qui s’exprime en N peut aussi s’exprimer en kg·m·s‑2.
Ces unités sont donc équivalentes. 1 N == 1 kg·m·s-2.

Supplément numérique

Retrouvez bientôt une vidéo sur le tracé d’un vecteur variation de vitesse !

Doc. 7
Saut en parachute

Parachutiste

Doc. 5
Le vecteur variation de vitesse et force résultante

Le vecteur variation de vitesse et force résultante
Δv3\Delta \vec v_3 au point M3\text{M}_3 a même direction et même sens que la résultante des forces ΣF\Sigma \vec F appliquées au point M3.\text{M}_3.

D
Cas d’une chute libre

On dit qu’un objet est en chute libre s’il est soumis uniquement à son poids P. \vec P.
Comme P=mg,\vec P = m \cdot \vec g , alors la relation approchée de la deuxième loi de Newton s’écrit : mΔvΔt=mgm \cdot \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} = m \cdot \vec g soit ΔvΔt=g.\dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} = \vec g.

Ainsi, dans le cas d’une chute libre, la variation du vecteur vitesse par rapport au temps ΔvΔt\dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} est égale au champ de pesanteur g.\vec g.
Le vecteur variation de vitesse Δv\Delta \vec v d’un système en chute libre est vertical, dirigé vers le bas et sa valeur ne dépend pas de sa masse.

C
Relation approchée de la deuxième loi de Newton

Cette relation réunit les considérations précédentes (cf. A. et B.) :

mΔvΔt=ΣFm \: · \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} = \Sigma \vec F
avec ΣF\Sigma \vec F en N, Δv\Delta \vec{v} en m·s-1, Δt\Delta t en s et mm en kg.


Connaissant la masse et le vecteur variation de vitesse d’un système à un instant donné, cette relation permet de déduire la direction, le sens et l’intensité de la résultante des forces qui s’appliquent à cet instant, et réciproquement.

Remarque :
ΔvΔt \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} est donc inversement proportionnel à la masse : ΔvΔt=1mΣF. \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} = \dfrac{1}{m}\Sigma \vec F.

B
Rôle de la masse

On définit l’inertie comme la tendance d’un corps à conserver sa vitesse. Plus la masse d’un objet est importante, plus son inertie est grande. La force qu’il faut fournir à un objet pour le porter d’une vitesse v1v_1 à une vitesse v2v_2 est, en un intervalle de temps Δt\Delta t donné, proportionnelle à la masse de l’objet (doc. 6).

Cette force résultante ΣF\Sigma \vec F qui est proportionnelle à ΔvΔt\dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} est aussi proportionnelle à la masse mm de l’objet.

Éviter les erreurs

t2t_2 et t1t_1 sont des dates tandis que xx est une durée. La durée est définie comme le temps séparant deux dates, par exemple : Δt=t2t1.\Delta t = t_2 - t_1.
La durée séparant deux positions sur une chronophotographie est souvent notée τ.\tau.

Pas de malentendu

En parachutisme, l’expression chute libre désigne la phase de la chute précédant l’ouverture du parachute. En réalité, durant cette phase, le parachutiste est soumis, non seulement à son poids, mais aussi aux frottements de l’air qui ne sont pas négligeables puisque le parachutiste cesse d’accélérer et atteint une vitesse limite de 200 km·h-1.

Doc. 6
Lancer de poids

Nafissatou Thiam, championne du monde d’heptathlon 2017, effectuant un lancer de poids

Plus la masse de la boule à lancer est élevée, plus la force exercée par l’athlète doit être élevée pour la porter à une vitesse donnée.
Nafissatou Thiam, championne du monde d’heptathlon 2017, effectuant un lancer de poids.

A
Variation de vitesse et résultante des forces

On peut relier la variation de la vitesse d’un système par rapport au temps à la somme des forces qui agissent sur lui.

Soit un point matériel M\text{M} animé d’une vitesse v\vec{v}, soumis à un ensemble de forces dont la somme vaut ΣF\Sigma \vec{F} à un instant t.t. Les forces appliquées au point matériel induisent un changement de vitesse.

La variation de vitesse instantanée d’un système par rapport au temps est proportionnelle à la résultante des forces qui s’appliquent sur lui : ΔvΔt=kΣF\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = k · \Sigma \vec{F} kk est un réel positif normal.

En pratique, pour obtenir la résultante des forces qui s’exercent sur le point matériel à la date t2t_2, on mesure la variation de vitesse entre deux dates proches, t2t_2 et t3.t_3.

Exemple :
Doc. 5 La variation de vitesse au point M2\text{M}_2 par rapport au temps est proportionnelle à la résultante des forces appliquées au point M2.\text{M}_2.

Δv2t3t2=kΣF.\dfrac{\Delta \vec{v_2}}{t_3 - t_2} = k · \Sigma \vec{F}.

Par conséquent, le vecteur variation de vitesse Δv2\Delta \vec v_2 au point M2\text{M}_2 est de même direction et de même sens que la résultante des forces F\vec F s’appliquant au système à l’instant t2t_2 et sa valeur Δv2\Delta \vec v_2 est proportionnelle à l’intensité de ΣF.\Sigma \vec F.

2
Effet d’une force sur le mouvement


Doc. 2
Résultante des forces s’exerçant sur une balle de tennis

Résultante des forces s’exerçant sur une balle de tennis
Freˊsultante=Fraquette/balle+P\vec{F}_{\text{résultante}} = \vec{F}_{\text{raquette/balle}} + \vec{P}

Doc. 3
Une astronaute dans l’espace

Une astronaute dans l’espace

Loin de tout corps environnant, une astronaute a un mouvement rectiligne uniforme.

C
Référentiel galiléen

Les lois de Newton s’appliquent dans des référentiels dits galiléens uniquement.

Un référentiel est dit galiléen si le principe d’inertie est vérifié dans celui-ci.

Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour des études de mouvement de durée faible par rapport à la durée de rotation complète de la Terre (24 h).

A
Résultante des forces

Lorsque plusieurs forces s’exercent sur un système, on définit le vecteur résultante des forces Freˊsultante.\vec{F}_{\text{résultante}}.

Le vecteur résultante des forces Freˊsultante\vec{F}_{\text{résultante}} est égal à la somme des forces extérieures qui s’appliquent sur le système.

On peut donc aussi l’écrire plus simplement ΣF.\Sigma \vec{F}.

B
Effet d’une force sur un mouvement

Alors que la cinématique est la science purement descriptive du mouvement, la dynamique est la science qui relie les caractéristiques du mouvement à ses causes. Dans ce chapitre, on modélise le système étudié par un point matériel situé en son centre de gravité.

En l’absence de force, ou si les forces se compensent, le système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. C’est la première loi de Newton, appelée aussi principe d’inertie. Si ΣF=0 \Sigma \vec{F} = \vec{0} , alors Δv=0.\Delta\vec{v} = \vec{0}.

Exemple : Dans le film Gravity, après la rupture du câble qui la reliait à la station spatiale, l’astronaute Ryan Stone, jouée par Sandra Bullock, dérive en mouvement rectiligne uniforme dans le vide car soumis à aucune force (doc. 3).

Au contraire, l’action d’une force permet de sortir un objet de son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme.

Lors d’un service au tennis (doc. 4), la balle est lancée verticalement vers le haut. La force exercée par la raquette sur la balle modifie sa trajectoire et accélère son mouvement, le vecteur vitesse de la balle varie : Δv0.\Delta \vec{v} \ne \vec{0}.

Ainsi, une force a pour effet de modifier la trajectoire et/ou la valeur de la vitesse d’un objet.

Un ensemble de forces dont la résultante ΣF\Sigma \vec{F} est non nulle est responsable de la variation du vecteur vitesse v\vec{v} du système.

Si ΣF0\Sigma \vec{F} \ne \vec{0} , alors Δv0.\Delta \vec{v} \ne \vec{0}.

Vocabulaire

  • Point matériel : point modèle contenant la masse du système, situé en son centre de gravité.

Doc. 4
Service au tennis

Roger Federer, champion de tennis, avril 2008

Lors d’un service, la force exercée par le joueur sur la balle modifie la direction et la valeur de sa vitesse.
Roger Federer, champion de tennis, avril 2008.

Pas de malentendu

Une force n’est pas nécessaire pour maintenir un objet en mouvement. D’après le principe d’inertie, en l’absence de forces ou si les forces se compensent, l’objet est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

1
Vecteur variation de vitesse

Éviter les erreurs

La norme d’une somme de vecteurs n’est en général pas égale à la somme des normes, mais :
v2v1v2v1.\| \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1} \| \ge\| \vec{v}_{2} \| - \| \vec{v}_{1} \|.

Norme d'une somme de vecteur

Doc. 1
Vecteur variation de vitesse Δv3\Delta \vec{v}_3{} au point M3\text{M}_3

Vecteur variation de vitesse

Lors d’un mouvement, le vecteur vitesse instantanée peut varier en direction, en sens et en norme. On définit alors le vecteur variation de vitesse instantanée entre un instant tt et un instant tt’ :

Δv=vv.\Delta \vec{v} = \vec{v}\,' - \vec{v}.