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P.259-261

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Chapitre 13


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1
Vecteur variation de vitesse


Lors d’un mouvement, le vecteur vitesse instantanée peut varier en direction, en sens et en norme. On définit alors le vecteur variation de vitesse instantanée entre un instant tt et un instant tt’ :

Δv=vv.\Delta \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\,' - \overrightarrow{v}.

En pratique, on ne peut pas mesurer la vitesse d’un point à deux instants infiniment proches, séparés d’une durée Δt\Delta t infiniment petite. Comme on mesure la vitesse moyenne entre deux points, on définit le vecteur variation de vitesse moyenne entre deux points.

Le vecteur variation de vitesse moyenne Δv3\Delta \overrightarrow {v}_{3} au point M3\text{M}_3 a pour expression : Δv3=v4v3.\Delta \overrightarrow {v}_{3}= \overrightarrow{v}_{4} - \overrightarrow{v_3}.

Il s’obtient graphiquement en ajoutant le vecteur v4\overrightarrow{v}_{4} à l’opposé du vecteur v3\overrightarrow{v}_{3} au point M3\text{M}_3 ➜ Fiche méthode 4, p. 385.


Le vecteur variation de vitesse moyenne calculé entre deux points est, en première approximation, appelé vecteur variation de vitesse.

Remarque : Pour des valeurs de Δt \Delta t importantes, le calcul de la vitesse donne de meilleurs résultats en prenant les points Mi1\text{M}_{\text{i}-1} et Mi+1\text{M}_{\text{i}+1} que les points Mi+1\text{M}_{\text{i}+1} et Mi\text{M}_{\text{i}} .

Doc. 1
Vecteur variation de vitesse Δv3\Delta \overrightarrow{v}_3{} au point M3\text{M}_3

Vecteur variation de vitesse

Éviter les erreurs

La norme d’une somme de vecteurs n’est en général pas égale à la somme des normes, mais :
v2v1v2v1.\| \overrightarrow{v}_{2} - \overrightarrow{v}_{1} \| \ge\| \overrightarrow{v}_{2} \| - \| \overrightarrow{v}_{1} \|.

Norme d'une somme de vecteur

2
Effet d’une force sur le mouvement


A
Résultante des forces

Lorsque plusieurs forces s’exercent sur un système, on définit le vecteur résultante des forces Freˊsultante.\overrightarrow{F}_{\text{résultante}}.

Le vecteur résultante des forces Freˊsultante\overrightarrow{F}_{\text{résultante}} est égal à la somme des forces extérieures qui s’appliquent sur le système.

On peut donc aussi l’écrire plus simplement ΣF.\Sigma \overrightarrow{F}.

Doc. 2
Résultante des forces s’exerçant sur une balle de tennis

Résultante des forces s’exerçant sur une balle de tennis

B
Effet d’une force sur un mouvement

Alors que la cinématique est la science purement descriptive du mouvement, la dynamique est la science qui relie les caractéristiques du mouvement à ses causes. Dans ce chapitre, on modélise le système étudié par un point matériel situé en son centre de gravité.

En l’absence de force, ou si les forces se compensent, le système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. C’est la première loi de Newton, appelée aussi principe d’inertie. Si ΣF=0 \Sigma \overrightarrow{F} = \overrightarrow{0} , alors Δv=0.\Delta\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}.

Exemple : Dans le film Gravity, après la rupture du câble qui la reliait à la station spatiale, l’astronaute Ryan Stone, jouée par Sandra Bullock, dérive en mouvement rectiligne uniforme dans le vide car soumis à aucune force (doc. 3).

Au contraire, l’action d’une force permet de sortir un objet de son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme.

Lors d’un service au tennis (doc. 4), la balle est lancée verticalement vers le haut. La force exercée par la raquette sur la balle modifie sa trajectoire et accélère son mouvement, le vecteur vitesse de la balle varie : Δv0.\Delta \overrightarrow{v} \ne \overrightarrow{0}.

Ainsi, une force a pour effet de modifier la trajectoire et/ou la valeur de la vitesse d’un objet.

Un ensemble de forces dont la résultante ΣF\Sigma \overrightarrow{F} est non nulle est responsable de la variation du vecteur vitesse v\overrightarrow{v} du système.

Si ΣF0\Sigma \overrightarrow{F} \ne \overrightarrow{0} , alors Δv0.\Delta \overrightarrow{v} \ne \overrightarrow{0}.

Doc. 3
Une astronaute dans l’espace

Une astronaute dans l’espace


Pas de malentendu

Une force n’est pas nécessaire pour maintenir un objet en mouvement. D’après le principe d’inertie, en l’absence de forces ou si les forces se compensent, l’objet est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

Vocabulaire

  • Point matériel : point modèle contenant la masse du système, situé en son centre de gravité.

Doc. 4
Service au tennis

Roger Federer, champion de tennis, avril 2008

Lors d’un service, la force exercée par le joueur sur la balle modifie la direction et la valeur de sa vitesse.

C
Référentiel galiléen

Les lois de Newton s’appliquent dans des référentiels dits galiléens uniquement.

Un référentiel est dit galiléen si le principe d’inertie est vérifié dans celui-ci.

Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour des études de mouvement de durée faible par rapport à la durée de rotation complète de la Terre (24 h).

3
Approche de la deuxième loi de Newton


A
Variation de vitesse et résultante des forces

On peut relier la variation de la vitesse d’un système par rapport au temps à la somme des forces qui agissent sur lui.

Soit un point matériel M\text{M} animé d’une vitesse v\overrightarrow{v}, soumis à un ensemble de forces dont la somme vaut ΣF\Sigma \overrightarrow{F} à un instant t.t. Les forces appliquées au point matériel induisent un changement de vitesse.

La variation de vitesse instantanée d’un système par rapport au temps est proportionnelle à la résultante des forces qui s’appliquent sur lui : ΔvΔt=kΣF\dfrac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t} = k · \Sigma \overrightarrow{F} kk est un réel positif normal.

En pratique, pour obtenir la résultante des forces qui s’exercent sur le point matériel à la date t2t_2, on mesure la variation de vitesse entre deux dates proches, t2t_2 et t3.t_3.

Exemple :
Doc. 5 La variation de vitesse au point M2\text{M}_2 par rapport au temps est proportionnelle à la résultante des forces appliquées au point M2.\text{M}_2.

Δv2t3t2=kΣF.\dfrac{\Delta \overrightarrow{v_2}}{t_3 - t_2} = k · \Sigma \overrightarrow{F}.

Par conséquent, le vecteur variation de vitesse Δv2\Delta \overrightarrow v_2 au point M2\text{M}_2 est de même direction et de même sens que la résultante des forces F\overrightarrow F s’appliquant au système à l’instant t2t_2 et sa valeur Δv2\Delta \overrightarrow v_2 est proportionnelle à l’intensité de ΣF.\Sigma \overrightarrow F.

Éviter les erreurs

t2t_2 et t1t_1 sont des dates tandis que xx est une durée. La durée est définie comme le temps séparant deux dates, par exemple : Δt=t2t1.\Delta t = t_2 - t_1.
La durée séparant deux positions sur une chronophotographie est souvent notée τ.\tau.

Doc. 5
Le vecteur variation de vitesse et force résultante

Le vecteur variation de vitesse et force résultante

B
Rôle de la masse

On définit l’inertie comme la tendance d’un corps à conserver sa vitesse. Plus la masse d’un objet est importante, plus son inertie est grande. La force qu’il faut fournir à un objet pour le porter d’une vitesse v1v_1 à une vitesse v2v_2 est, en un intervalle de temps Δt\Delta t donné, proportionnelle à la masse de l’objet (doc. 6).

Cette force résultante ΣF\Sigma \overrightarrow F qui est proportionnelle à ΔvΔt\dfrac{\Delta \overrightarrow v}{\Delta t} est aussi proportionnelle à la masse mm de l’objet.

Doc. 6
Lancer de poids

Nafissatou Thiam, championne du monde d’heptathlon 2017, effectuant un lancer de poids

Plus la masse de la boule à lancer est élevée, plus la force exercée par l’athlète doit être élevée pour la porter à une vitesse donnée.

C
Relation approchée de la deuxième loi de Newton

Cette relation réunit les considérations précédentes (cf. A. et B.) :

mΔvΔt=ΣFm \: · \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \Sigma F
avec ΣF\Sigma F en N, Δv\Delta{v} en m·s-1, Δt\Delta t en s et mm en kg.


Connaissant la masse et le vecteur variation de vitesse d’un système à un instant donné, cette relation permet de déduire la direction, le sens et l’intensité de la résultante des forces qui s’appliquent à cet instant, et réciproquement.

Remarque :
ΔvΔt \dfrac{\Delta v}{\Delta t} est donc inversement proportionnel à la masse : ΔvΔt=1mΣF. \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{1}{m}\Sigma F.

Analyse dimensionnelle

La norme du vecteur ΔvΔt\dfrac {\Delta v}{\Delta t} s’exprime en (m·s-1)·s-1 donc en m·s-2.
D’après la relation approchée de la deuxième loi de Newton, la valeur de la force résultante qui s’exprime en N peut aussi s’exprimer en kg·m·s‑2.
Ces unités sont donc équivalentes. 1 N == 1 kg·m·s-2.

D
Cas d’une chute libre

On dit qu’un objet est en chute libre s’il est soumis uniquement à son poids P. \overrightarrow P.
Comme P=mg,\overrightarrow P = m \cdot \overrightarrow g , alors la relation approchée de la deuxième loi de Newton s’écrit : mΔvΔt=mgm \cdot \dfrac{\Delta \overrightarrow v}{\Delta t} = m \cdot \overrightarrow g soit ΔvΔt=g.\dfrac{\Delta \overrightarrow v}{\Delta t} = \overrightarrow g.

Ainsi, dans le cas d’une chute libre, la variation du vecteur vitesse par rapport au temps ΔvΔt\dfrac{\Delta \overrightarrow v}{\Delta t} est égale au champ de pesanteur g.\overrightarrow g.
Le vecteur variation de vitesse Δv\Delta \overrightarrow v d’un système en chute libre est vertical, dirigé vers le bas et sa valeur ne dépend pas de sa masse.

Pas de malentendu

En parachutisme, l’expression chute libre désigne la phase de la chute précédant l’ouverture du parachute. En réalité, durant cette phase, le parachutiste est soumis, non seulement à son poids, mais aussi aux frottements de l’air qui ne sont pas négligeables puisque le parachutiste cesse d’accélérer et atteint une vitesse limite de 200 km·h-1.

Doc. 7
Saut en parachute

Parachutiste
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