Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Cours
P.496-499

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Chapitre 18


Cours




1
Superposition de deux ondes
(⇧)


A
Modélisation d’une onde progressive

Une onde progressive est périodique lorsqu’elle se répète à intervalles de temps réguliers (doc. 1). L’amplitude ss de l’onde peut alors être décrite par une fonction mathématique dont les variables sont le temps tt, une coordonnée xx et la célérité cc :

s(x,t)=f(t±xc)s(x, t)=f\left(t \pm \dfrac{x}{c}\right)

Pour certaines ondes progressives, les variations de s(x,t)s(x, t) sont régulières dans le temps et l’espace. Pour les décrire, on utilise le modèle des ondes progressives sinusoïdales (doc. 2). Elles peuvent être mathématiquement décrites par une fonction sinusoïdale :
s(x,t)=Acos(2πT(txc)+φ)s(x, t)=A \cdot \cos \left(\dfrac{2 \pi}{T} \cdot\left(t-\dfrac{x}{c}\right)+\varphi\right)
AA : amplitude maximale de l’onde
TT : période temporelle de l’onde (s)
cc : célérité de l’onde (m·s-1)
φ\varphi : phase à l’origine de l’onde (rad)

B
Périodicité des ondes périodiques

Une onde périodique possède une double périodicité (doc. 3) :

  • une périodicité temporelle, caractérisée par la période TT, qui représente la plus petite durée pour laquelle un point du milieu de propagation de l’onde se retrouve dans le même état vibratoire (même phase) ;
  • une périodicité spatiale, caractérisée par la longueur d’onde λ\lambda, qui représente la plus petite distance séparant deux points du milieu qui sont dans le même état vibratoire (même phase).
Les deux périodes sont liées par la relation :

λ=cT\lambda=c\cdot T

Ainsi, la longueur d’onde est également la distance parcourue par l’onde pendant une durée égale à la période TT.

C
Superposition d’ondes progressives

Deux ondes progressives peuvent se superposer. En chaque instant, l’amplitude de l’onde résultante est la somme des amplitudes des deux ondes.

Cette somme peut être plus grande en valeur absolue que chacune des deux ondes, la superposition est alors constructive (doc. 4, points A\text{A} et B\text{B}). Si elle est plus petite que chacune des deux ondes, la superposition est destructive (doc. 4 point C).\text{C}).

Doc. 1
Onde progressive

Onde progressive

Doc. 2
Onde progressive sinusoïdale

Onde progressive sinusoïdale

Vocabulaire


Phase à l’origine φ\bm{\varphi}



Phase à l’origine φ\bm{\varphi} : état vibratoire de l’onde à l’origine, c’est-à-dire pour t=0t = 0 s et x=0x = 0 m.

Doc. 3
Double périodicité

Double périodicité

Doc. 4
Superposition d’ondes

Superposition d’ondes

2
Interférences entre deux ondes
(⇧)


A
Phénomène d’interférences

Deux ondes progressives sinusoïdales synchrones (de même fréquence), et de déphasage constant se superposent de façon stable : les sources sont dites cohérentes (doc. 5). Il est alors possible d’observer la formation de zones d’amplitude maximale ou minimale : ce sont des franges d’interférences. Les zones d’amplitude maximale (brillantes) correspondent à des interférences constructives et les zones d’amplitude minimale (sombres) à des interférences destructives (doc. 6).
Expérimentalement, des franges d’interférences stables et observables sont obtenues à partir de deux ondes secondaires issues d’une même onde primaire. Ainsi, les deux ondes ont la même fréquence et une différence de phase à l’origine constante. Les sources sont cohérentes.

B
Franges et différence de chemin optique

Le caractère constructif ou destructif de la superposition de deux ondes en un point P\text{P} dépend du retard d’une onde par rapport à l’autre ou, ce qui est équivalent, à la différence de trajet entre les deux ondes, appelée différence de chemin optique notée δ\delta.

Dans le cas de deux ondes sinusoïdales monochromatiques cohérentes (doc. 7), on remarque :
  • des interférences constructives (franges brillantes) quand les ondes arrivent en phase (point P\text{P}) :

    δ=S1PS2P=kλ\delta=\mathrm{S}_{1} \mathrm{P}-\mathrm{S}_{2} \mathrm{P}=k \cdot \lambda

  • des interférences destructives (franges sombres) quand les ondes arrivent en opposition de phase (point P\text{P}') :
    δ=S1PS2P=(k+12)λ\delta^{\prime}=\mathrm{S}_{1} \mathrm{P}^{\prime}-\mathrm{S}_{2} \mathrm{P}^{\prime}=\left(k+\dfrac{1}{2}\right) \cdot \lambda
Ici, kk est un entier relatif {;3;2;1;0;+1;+2;+3;}\{\dots \:; -3 \:; -2 \:; -1 \:; 0 \:; +1 \:; +2 \:; +3 \:; \dots\} et est appelé ordre d’interférences.

C
Interfrange

L’interfrange, notée ii, est la distance minimale entre deux zones consécutives de même intensité lumineuse (doc. 7). Dans le cas du dispositif des fentes d’Young :

i=λDai=\dfrac{\lambda \cdot D}{a}
ii : interfrange (m)
λ\lambda : longueur d’onde (m)
DD : distance fentes-écran (m)
aa : distance entre les deux fentes (m)

Doc. 5
Superposition d’ondes

Superposition d’ondes

Doc. 6
Franges d’interférences

Franges d’interférences

Elle sont obtenues :
  • en haut : avec une cuve à ondes ;
  • en bas : avec des fentes d’Young.

Doc. 7
Schéma du dispositif des fentes d’Young

Schéma du dispositif des fentes d’Young

(k=1k = 1 en P\text{P} et k=1k = -1 en P\text{P}')

Pas de malentendu

Les interférences se produisent pour tout type d’ondes. Elles ne sont stables et facilement observables qu’avec des ondes synchrones issues de sources cohérentes.

3
Phénomène de diffraction
(⇧)


A
Mise en évidence

Le phénomène de diffraction étudié pour la première fois par Francesco Grimaldi vers 1660 peut être décrit comme la modification de la direction de propagation d’une onde progressive périodique lorsque celle-ci rencontre un obstacle ou une ouverture de dimension comparable ou inférieure à sa longueur d’onde (doc. 8 et doc. 9).
Cette modification se fait dans un plan perpendiculaire à l’axe principal de l’obstacle ou de l’ouverture.


Le phénomène de diffraction ne modifie ni la longueur d’onde ni la fréquence de l’onde. Il est caractérisé par un écart angulaire noté θ\theta et appelé angle caractéristique de diffraction.
Dans le cas d’une onde progressive périodique :
θ=λa\theta=\dfrac{\lambda}{a}
θ\theta : angle caractéristique de diffraction (rad)
λ\lambda : longueur d’onde (m)
aa : largeur de l’ouverture ou de l’obstacle (m)

B
Principe d’Huygens-Fresnel

Le principe d’Huygens-Fresnel est le résultat des travaux de Christian Huygens (1678) et d’Augustin Fresnel (1818). Sous sa forme moderne, ce principe s’énonce de la façon suivante.

L’onde diffractée par une ouverture ou un obstacle est la superposition d’ondelettes secondaires émises en chacun des points de l’ouverture (ou de l’obstacle). Ces ondelettes possèdent la même fréquence que l’onde initiale et sont en phase (doc. 10).


Bien qu’étudiée et interprétée avant le phénomène d’interférences, cette modélisation ramène le phénomène de diffraction à un phénomène d’interférences par une infinité d’ondes cohérentes.

C
Diffraction de Fraunhofer

La diffraction de Fraunhofer est l’observation de la figure de diffraction d’ondes lumineuses à une distance grande par rapport aux dimensions de l’ouverture ou de l’obstacle diffractant (DaD \gg a). Dans ce cas, les rayons sont considérés comme paraxiaux et l’angle caractéristique de diffraction θ\theta suffisamment petit (inférieur à 1515°) pour utiliser l’approximation des petits angles (doc. 11) :
θ=L2D\theta=\dfrac{L}{2 D}
θ\theta : angle caractéristique de diffraction (rad)
LL : largeur de la tache centrale (m)
DD : distance entre la fente et l’écran (m)

Doc. 8
Cas d’un trou circulaire

Cas d’un trou circulaire

Doc. 9
Diffraction en surface

Diffraction en surface

Doc. 10
Principe d’Huygens-Fresnel

Principe d’Huygens-Fresnel

Doc. 11
Diffraction de Fraunhofer

Diffraction de Fraunhofer

Diffraction de Fraunhofer

4
Applications et conséquences
(⇧)


A
Interférométrie

Le phénomène d’interférences est utilisé dans la plupart des domaines de la science (physique, chimie, biologie, médecine, astronomie, etc.). En effet, les techniques d’interférométrie permettent de déterminer la taille de petits objets, de mesurer de petites distances, avec une précision de l’ordre du nanomètre.

Le principe de l’interféromètre de Michelson est l’un des plus connus et des plus utilisés. Il a permis, au début du XXe siècle, d’interpréter des expériences à l’aide de la théorie de la relativité restreinte (doc. 12).

B
Pouvoir de résolution

Dans le cas des ondes lumineuses, la diffraction est un phénomène contraignant car il limite la capacité des instruments d’optique à distinguer les détails les plus petits de l’objet observé. Dans le cas d’un télescope, dont l’ouverture est circulaire, l’image d’un point n’est pas un point mais une succession de cercles concentriques dus à la diffraction. La figure observée est appelée tache d’Airy (doc. 13).

Application : Phénomène d’irisation

Le phénomène d’irisation est un phénomène naturel bien connu (doc. 14). La lumière blanche est constituée d’une infinité d’ondes monochromatiques.

1. Dans le cas d’un dispositif de fentes d’Young en lumière blanche, calculer la valeur de l’interfrange ii pour les longueurs d’onde extrêmes du spectre du visible (voir données ci-contre).

2. Interpréter l’image du doc. 14.

Corrigé :

1. Pour λ=400\lambda = 400 nm, on a :

i=λDai=\dfrac{\lambda \cdot D}{a}

AN : i=400×109×1,500,300×103=2,00×103m=2,00i=\dfrac{400 \times 10^{-9} \times 1{,}50}{0{,}300 \times 10^{-3}}=2{,}00 \times 10^{-3} \:\mathrm{m}=2{,}00 mm

Pour λ=800\lambda = 800 nm, le même calcul aboutit à i=4,00×103m=4,00i = 4{,}00 \times 10^{-3} \:\text{m} = 4{,}00 mm.

2. L’interfrange pour la longueur d’onde limite avec les ultraviolets est deux fois plus petite que pour celle correspondant à la limite avec les infrarouges. On observe une décomposition de la lumière blanche combinée aux franges d’interférences. Pour l’ordre 00 d’interférence, le centre de la frange est blanc, puis quand on s’écarte du centre, la frange devient bleue puis verte puis rouge. C’est pour cela que l’on observe un mélange de couleurs sur la photographie du doc. 14.

Doc. 12
Interféromètre de Michelson

Interféromètre de Michelson

Retrouvez une animation de l'interféromètre de Michelson en cliquant ici.

Doc. 13
Tache d’Airy

Tache d’Airy

Données

  • Écart entre les fentes : a=0,300a = 0{,}300 mm
  • Distance entre les fentes et l’écran : D=1,50D = 1{,}50 m
  • Domaine en longueur d’onde du spectre visible : λ[400nm;800nm]\lambda \in [400\: \text{nm} \:; 800\: \text{nm}]

Doc. 14
Irisation dans l’atmosphère

Irisation dans l’atmosphère

Supplément numérique

Découvrez l’interféromètre de Michelson plus en détail :

Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.