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Étoiles et diffraction

Objectifs

• Exploiter la relation liant angle caractéristique de diffraction, longueur d’onde et taille de l’ouverture.

Doc. 1

Photographies de Sirius

Ci-dessous, deux photographies de l’étoile Sirius prises avec deux télescopes différents. Sur la photographie de gauche, Sirius comporte quatre branches alors qu’elle en compte six sur celle de droite.

Doc. 2

Araignée d’un télescope

Certains télescopes sont constitués d’un miroir secondaire situé à l’entrée du télescope qui permet l’observation des objets célestes à travers l’oculaire après réflexion de la lumière incidente sur le miroir primaire. Ce miroir secondaire est maintenu par des « bras » appelés aigrettes. L’ensemble $\{$aigrettes $+$ miroir$\}$ constitue ce que l’on appelle une araignée.

Le nombre de bras de l’araignée d’un télescope peut varier d’un modèle à l’autre. Les images ci-dessous montrent les trois types d’araignée les plus rencontrés.

Doc. 3

Diffraction de la lumière par une fente

Une fente diffracte la lumière qui la traverse. Si la fente est suffisamment petite, la figure de diffraction, observée dans un plan parallèle à la fente, est constituée d’une série de taches réparties sur un axe perpendiculaire à la direction de la fente. Ainsi, une fente verticale donne une figure de diffraction s’étalant sur un axe horizontal. Par ailleurs, la largeur $L$ de la tache centrale est deux fois plus grande que celle des autres. L’écart angulaire $\theta$ peut être calculé à partir de la relation :
$\theta=\dfrac{\lambda}{a}$

Doc. 4

Théorème de Babinet

Le théorème de Babinet énonce que deux objets de forme complémentaire produisent des figures de diffraction identiques. Ceci s’explique par le fait que le phénomène de diffraction est produit par les bords de l’objet diffractant. Ainsi, un fil ou une fente de même largeur produisent des figures de diffraction identiques.

Doc. 5

Image d’une étoile

Les deux photographies ci-dessous montrent une reproduction de l’araignée à trois bras d’un télescope (à gauche) et la figure de diffraction obtenue (à droite).

Doc. 7

Incertitude

L’incertitude $u(x)$ obtenue pour la mesure d’une grandeur $x$ à l’aide d’un instrument de mesure de plus petite graduation$r$ est égale à : $u(x)=\dfrac{r}{2 \sqrt{3}}$

✔ APP : Extraire l’information utile

✔ REA : Mettre en œuvre un protocole

✔ VAL : Analyser des résultats

✔ REA : Respecter les règles de sécurité

1. Doc. 3 (⇧) Préciser si la tache centrale de diffraction due à une même fente est plus large pour une distance fente‑écran $D$ égale à $1{,}00$ m, $1{,}30$ m, $1{,}50$ m ou $1{,}80$ m. En déduire le choix de distance le plus judicieux.


2. Réaliser le montage permettant d’observer la figure de diffraction par une fente calibrée puis un fil calibré de même épaisseur $a = 40$ µm. Vérifier que les figures obtenues sont bien en accord avec les informations fournies dans le doc. 3 (⇧) et le doc. 4 (⇧).


3. Mesurer simplement la largeur de la tache centrale de diffraction et noter la valeur $L_1$ obtenue. Calculer l’incertitude-type $u(L_1)$ sur la mesure de $L_1$ puis écrire le résultat sous la forme $L_1 \pm u(L_1)$.


4. Proposer une méthode pour augmenter la précision de la mesure, puis la mettre en œuvre et calculer la nouvelle incertitude-type sur la mesure de $L_2$ avec cette méthode. Écrire le résultat sous la forme $L_2 \pm u(L_2)$.


5. Confirmer que la précision a bien été augmentée en comparant les incertitudes relatives.


6. Lorsque $\theta$ est petit, on considère que $\text{tan} (\theta) \approx \theta$. Dans le doc. 3 (⇧), le triangle $\text{FOM}$ est rectangle en $\text{O}$, déterminer l’expression de l’écart angulaire $\theta$ en fonction de $D$ et $L$.


7. En déduire une expression de $L$ en fonction de $a$, $D$ et $\lambda$.


8. Réaliser plusieurs mesures avec différentes valeurs de $a$. Puis, en utilisant un tableur‑grapheur, tracer le graphe représentant l’évolution de $L$ en fonction de $\dfrac{1}{a}$. Modéliser la courbe obtenue.

9. Déduire de l’expression trouvée à la question 7. et du graphe tracé, la valeur de la longueur d’onde $\lambda$ du laser. Calculer l’incertitude type $u(\lambda)$ en considérant que les seules sources d’incertitudes à considérer sont sur les mesures de $L$ et de $D$ et présenter le résultat sous la forme $\lambda \pm u(\lambda)$ :
$\dfrac{u(\lambda)}{\lambda}=\sqrt{\left(\dfrac{u(D)}{D}\right)^{2}+\left(\dfrac{u(L)}{L}\right)^{2}}$


10. Justifier la forme de la figure de diffraction obtenue avec une araignée à trois branches.


11. Reproduire soigneusement les araignées du doc. 2 (⇧) puis dessiner la figure de diffraction obtenue dans chaque cas.

Expliquer en quelques lignes la forme des étoiles observées à travers un télescope.