La chute d'une bille dans un fluide est un mouvement complexe marqué par une première phase d'accélération, puis une seconde phase uniforme. Lors de cette seconde phase, l'étude du mouvement de la bille permet de déterminer la viscosité dynamique $\eta$ du fluide.

Tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale et dirigée vers le haut dépendant du volume de fluide déplacé. Cette force, appelée poussée d'Archimède, s'écrit :



$\Pi$ : poussée d'Archimède (N)
${\rho }_{\text{fluide }}$ : masse volumique du fluide (kg·m^-3)
$V$ : volume de fluide déplacé (m³)
$\overrightarrow{g}$ : champ de pesanteur (N·kg^‑1)

• Masse volumique du fluide : ${\rho }_{\text{fluide }}=860$ kg·m^-3
• Masse de la balle rouge : $m_{\text{bille }}=21,0$ g
• Intensité de pesanteur : $g=9,81$ N·kg^-1
• Rayon de la bille : $r_{\text{bille }}=1,25$ cm

1. Après avoir défini le référentiel d'étude et le système, faire un bilan des forces appliquées sur celui‑ci.

2. En utilisant la 2^e loi de Newton, établir l'équation différentielle selon la vitesse $v$ du système et préciser les expressions de $\tau$ et $\alpha$ de sorte que :
$\frac{\text{d}v}{\text{d}t}+\frac{v}{\tau }=g\cdot (1-\alpha )$

3. Résoudre l'équation différentielle et exprimer $v$ en fonction du temps $t$ en tenant compte des conditions initiales et en notant $v_{\lim }$ la vitesse limite atteinte par la bille.

4. En tenant compte des spécifications techniques du dispositif et en utilisant un smartphone pour réaliser une acquisition vidéo, proposer un protocole permettant de déterminer expérimentalement la viscosité $\eta$ du fluide.

5. Après validation du professeur, le mettre en œuvre et déterminer la viscosité du fluide.

Lister les conditions de réalisation d'une vidéo pour l'étude d'un mouvement.