Objectif

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Détermination de la viscosité du glycérol

✔ APP : Faire un schéma
✔ APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

Le glycérol est un liquide transparent, incolore et visqueux. Du fait de sa non‑toxicité, il est utilisé notamment dans l’industrie pharmaceutique, car il améliore l’onctuosité des médicaments sous forme de sirop.
On souhaite déterminer la viscosité d’un échantillon de glycérol à l’aide d’un viscosimètre à chute de bille.

1. Faire un schéma représentant les différentes forces s’exerçant sur la bille au cours de sa chute.

2. Exprimer le poids de la bille $\overrightarrow{P}$ en fonction de $\rho$, $V$ et $\overrightarrow{g}$.


3. À l’aide de la deuxième loi de Newton, du doc. 4 (⇧) et du doc. 5 (⇧), donner une relation vectorielle liant les vecteurs $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{g}$.


4. Projeter cette relation sur un axe $(\text Oz)$ vertical dirigé vers le bas.


5. Montrer que la relation précédente peut s’écrire sous la forme :
$\dfrac{\text{d} v}{\text{d} t}=A+B \cdot v$
On précisera les expressions littérales de $A$ et $B$.


6. On a filmé la chute de différentes billes dans le glycérol afin de déterminer l’évolution de leur vitesse en fonction du temps. D’après le doc. 6 (⇧), expliquer pourquoi on peut parler d’une vitesse limite de la bille.


7. Montrer que la vitesse limite $v_{\mathrm{lim}}$ a pour expression :
$v_{\mathrm{lim}}=\dfrac{2\left(\rho-\rho_{0}\right) \cdot g \cdot r^{2}}{9 \eta}$


8. Exploiter le doc. 7 (⇧) afin de déterminer la viscosité $\eta$ du glycérol.

Données

• Intensité de pesanteur : $g = 9,81$ N·kg^-1
• Masse volumique de l’acier : $ρ = 7\,800$ kg·m^-3
• Masse volumique du glycérol : $ρ_{0} = 1\,260$ kg·m^-3

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Tomographie par émission de positons

✔ APP : Extraire l’information utile
✔ REA/MATH : Intégrer


La tomographie par émission de positons (TEP) est un examen reposant sur la détection de positons. Ils sont émis par le ¹⁸F-FDG, que l’on injecte au patient et qui doit être produit à l’hôpital. Pour cela, on bombarde au moyen d’un cyclotron (doc. 2 (⇧)) des noyaux d’oxygène 18 par des protons dont l’énergie cinétique est de 16 MeV. Les protons placés au point $\mathrm{O}$ sont accélérés jusqu’au point $\mathrm{O}^{\prime}$ où ils pénètrent dans le dé D.
À $t = 0$ s, un proton est introduit dans le cyclotron au point $\mathrm{O}$ sans vitesse initiale. La tension accélératrice $U$ vaut 30 kV. On se place sur l’axe ($\mathrm{Ox}$) horizontal, centré sur $\mathrm{O}$ et dirigé vers la droite.

1. Montrer que le poids du proton est négligeable devant la force électrique.


2. Compléter le schéma des plaques G et D du doc. 2 (⇧) et y faire figurer, en justifiant et sans souci d’échelle :

• le vecteur $\overrightarrow{F}$ modélisant la force électrique ;
• le vecteur champ électrique $\overrightarrow{E}$ entre les plaques.

Pour écrire sur ces schémas, veuillez cliquer sur les images et utiliser notre outil de dessin.

3. Établir l’expression de l’accélération $\overrightarrow{a}$ du proton entre $\mathrm{O}$ et $\mathrm{O}^{\prime}$ en fonction de $\overrightarrow{E}$.


4. Montrer que l’abscisse $x$ du proton sur son trajet $\mathrm{OO}^{\prime}$ est donnée par la relation :
$x(t)=\dfrac{e \cdot U}{2 m_{p} \cdot d} \cdot t^{2}$


5. En déduire la durée $\Delta t_{1}$ mise par le proton pour aller de $\mathrm{O}$ à $\mathrm{O}^{\prime}$.


6. Le mouvement du proton entre $\mathrm{O}^{\prime}$ et $\mathrm{A}^{\prime}$ est circulaire uniforme (doc. 3 (⇧)). En déduire la relation entre la vitesse $v$, le rayon $R$ et la durée $\Delta t_{2}$ de ce demi‑tour.

Le rayon $R$ de la trajectoire d’un proton dans un dé est donné par la relation :
$R=\dfrac{m_\mathrm{p} \cdot v}{e \cdot B}$



7. Montrer à partir des résultats des questions précédentes que la durée $\Delta t_{2}$ peut s’exprimer sous la forme $\Delta t_{2}=\dfrac{\pi \cdot m_{p}}{e \cdot B}$. En déduire que les demi‑tours suivants ont la même durée.


La variation d’énergie cinétique à chaque passage d’un dé à l’autre est égale au travail $W$ de la force électrique $\overrightarrow{F}$.

8. Évaluer le nombre de tours que doit faire le proton pour qu’il atteigne, à la sortie du cyclotron, une énergie de 16 MeV.

Données

• Masse du proton : $m_{p} = 1{,}67 \times 10^{-27}$ kg
• Charge électrique du proton : $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C
• Conversion d’unité : $1 \; \mathrm{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}$ J
• Intensité de pesanteur : $g = 9{,}81$ N·kg^-1
• Distance entre les plaques D et G : $d = {2},00$ mm

Découvrez une vidéo sur la tomographie

et une animation sur le modèle de cyclotron.