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Exercices Objectif Bac
P.338-340

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Objectif
Pictogramme de Bac





Comprendre les attendus

31
Saut à la perche

REA/MATH : Intégrer
APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

D’après le sujet Bac S, Antilles‑Guyane, 2019.

Les perches en fibre de verre, que l’on utilise en saut à la perche, sont très flexibles. Cela leur permet d’emmagasiner de l’énergie lorsqu’elles sont déformées et de la restituer lorsqu’elles reprennent leur forme initiale. L’objectif de cet exercice est d’étudier le mouvement d’un perchiste au cours de son saut.

I. Phase ascendante

La phase ascendante est composée de trois étapes :
  • étape 1 : la flexion de la perche ;
  • étape 2 : la déflexion de la perche ;
  • étape 3 : la « chute libre » ascendante.

Le Doc. 1 montre l’évolution des différentes formes d’énergie du perchiste au cours de cette phase.

1. Déterminer la valeur de la vitesse à l’instant t1=7,1t_{1} = 7,1 s.


2. Déterminer la hauteur HH du saut et comparer avec la valeur proposée dans les données.


3. Décrire l’évolution de l’énergie mécanique au cours des trois étapes et justifier chacune d’entre elles.


4. Préciser comment évoluerait la performance du perchiste si sa vitesse à l’instant t1t_{1} était plus élevée.


Doc. 1
Évolutions des énergies

Graphique - Évolutions des énergies

Énergies mécanique, cinétique et potentielle de pesanteur du perchiste au cours du temps lors de la phase ascendante.


II. Phase descendante

La phase descendante correspond à une chute libre de plusieurs mètres. On admet qu’au début de la phase descendante, le vecteur vitesse v0\overrightarrow{v}_{0} du perchiste est horizontal et que sa valeur est égale à v0=1,1v_{0} = 1,1 m·s-1.

1. En appliquant la deuxième loi de Newton dans le repère (O,i,j,k)(\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}), déterminer les composantes du vecteur accélération a du perchiste.


2. Montrer que les équations horaires du mouvement du perchiste s’écrivent :
{x(t)=v0ty(t)=0z(t)=12gt2+H\left\{\begin{array}{l} x(t)=v_{0} · t \\ y(t)=0 \\ z(t)=-\dfrac{1}{2} g · t^{2}+H \end{array}\right.


3. Justifier que le mouvement est plan.


4. Déterminer la durée de la phase descendante.


Doc. 2
Schématisation de la phase descendante

Graphique - Schématisation de la phase descendante


Données

    • Masse du perchiste : m=70m = 70 kg
    • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9,81 N·kg-1
    • Hauteur du tapis de réception : h=0,70h = 0,70 m
    • Hauteur du saut : H=5,4H = 5,4 m



Détails du barème

TOTAL / 10 pts
I. 1.Utiliser la formule de l’énergie cinétique.
1 pt
2. Utiliser la formule de l’énergie potentielle.
1 pt
3. Décrire une courbe et interpréter une information.
1,5 pt
4. Prévoir l’évolution d’une grandeur.
1 pt
II. 1. Utiliser la deuxième loi de Newton.
1 pt
2. Justifier à partir de y(t)=0y(t) = 0
3 pts
3. Montrer qu’un mouvement est plan.
0,5 pt
4. Faire un calcul à partir d’une équation horaire.
1 pt
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32
Détermination de la viscosité du glycérol

APP : Faire un schéma
APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

Détermination de la viscosité du glycérol

Le glycérol est un liquide transparent, incolore et visqueux. Du fait de sa non‑toxicité, il est utilisé notamment dans l’industrie pharmaceutique, car il améliore l’onctuosité des médicaments sous forme de sirop.
On souhaite déterminer la viscosité d’un échantillon de glycérol à l’aide d’un viscosimètre à chute de bille.

1. Faire un schéma représentant les différentes forces s’exerçant sur la bille au cours de sa chute.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Exprimer le poids de la bille P\overrightarrow{P} en fonction de ρ\rho, VV et g\overrightarrow{g}.


3. À l’aide de la deuxième loi de Newton, du doc. 4 (⇧) et du doc. 5 (⇧), donner une relation vectorielle liant les vecteurs a\overrightarrow{a}, v\overrightarrow{v} et g\overrightarrow{g}.


4. Projeter cette relation sur un axe (Oz)(\text Oz) vertical dirigé vers le bas.


5. Montrer que la relation précédente peut s’écrire sous la forme :
dvdt=A+Bv\dfrac{\text{d} v}{\text{d} t}=A+B \cdot v

On précisera les expressions littérales de AA et BB.


6. On a filmé la chute de différentes billes dans le glycérol afin de déterminer l’évolution de leur vitesse en fonction du temps. D’après le doc. 6 (⇧), expliquer pourquoi on peut parler d’une vitesse limite de la bille.


7. Montrer que la vitesse limite vlimv_{\mathrm{lim}} a pour expression :
vlim=2(ρρ0)gr29ηv_{\mathrm{lim}}=\dfrac{2\left(\rho-\rho_{0}\right) \cdot g \cdot r^{2}}{9 \eta}



8. Exploiter le doc. 7 (⇧) afin de déterminer la viscosité η\eta du glycérol.
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Données
  • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9,81 N·kg-1
  • Masse volumique de l’acier : ρ=7800ρ = 7\,800 kg·m-3
  • Masse volumique du glycérol : ρ0=1260ρ_{0} = 1\,260 kg·m-3

Doc 1
Viscosité

La viscosité η\eta traduit l’ensemble des phénomènes de résistance au mouvement d’un fluide pour un écoulement avec ou sans turbulence. La viscosité diminue la liberté d’écoulement du fluide et dissipe son énergie. On classe souvent les huiles suivant leur viscosité dynamique.

D’après Wikipedia.org.

Doc 2
Volume d’une sphère

Le volume VV d’une sphère de rayon rr est égal à :
V=43πr3V=\dfrac{4}{3} \pi · r^{3}

Doc 3
Viscosimètre à chute de bille

Le viscosimètre à chute de bille est un dispositif constitué d’une éprouvette remplie du fluide à étudier, dans lequel chutent des billes de masse mm et de rayon rr connus. Des capteurs disposés le long de l’éprouvette permettent de déterminer la vitesse de la bille à différents instants de sa chute.

Doc 4
Poussée d’Archimède

La poussée d’Archimède est une force d’expression :
Π=ρfluide Vig\overrightarrow{\varPi}=-\rho_{\text {fluide }} · V_{i} · \overrightarrow{g}

Π\overrightarrow{\varPi} : poussée d’Archimède de norme Π{\varPi} (N)
ρfluide \rho_{\text {fluide }} : masse volumique du fluide (kg·m-3)
ViV_{i} : volume immergé dans le fluide (m3)
g\overrightarrow{g} : champ de pesanteur de norme gg (N·kg-1)

Doc 5
Loi de Stokes

Pour une sphère suffisamment loin de tout obstacle ou paroi, la force de frottement fluide f\overrightarrow{f} exercée par le fluide sur la sphère est égale à :
f=6πηrv\overrightarrow{f}=-6 \pi · \eta · r · \overrightarrow{v}

f\overrightarrow{f} : force de frottement fluide de norme ff (N)
π\pi : viscosité du fluide (Pa·s)
rr : rayon de la bille (m)
v\overrightarrow{v} : vecteur vitesse de la bille de norme vv (m·s-1)

Doc 6
Vitesse de la bille

Vitesse de la bille - doc 6

Courbe représentant la vitesse vv d’une bille de diamètre 2 mm en fonction du temps.

Doc 7
Vitesses limites mesurées

r (mm) 1,50 1,60 1,75 2,00 2,25
vlim (cm·s‑1) 5,2 5,9 7,1 9,1 11,5

33
Tomographie par émission de positons

APP : Extraire l’information utile
REA/MATH : Intégrer

D’après le sujet Bac S, Nouvelle‑Calédonie, 2017.

La tomographie par émission de positons (TEP) est un examen reposant sur la détection de positons. Ils sont émis par le 18F-FDG, que l’on injecte au patient et qui doit être produit à l’hôpital. Pour cela, on bombarde au moyen d’un cyclotron (doc. 2 (⇧)) des noyaux d’oxygène 18 par des protons dont l’énergie cinétique est de 16 MeV. Les protons placés au point O\mathrm{O} sont accélérés jusqu’au point O\mathrm{O}^{\prime} où ils pénètrent dans le dé D.
À t=0t = 0 s, un proton est introduit dans le cyclotron au point O\mathrm{O} sans vitesse initiale. La tension accélératrice UU vaut 30 kV. On se place sur l’axe (Ox\mathrm{Ox}) horizontal, centré sur O\mathrm{O} et dirigé vers la droite.

1. Montrer que le poids du proton est négligeable devant la force électrique.


2. Compléter le schéma des plaques G et D du doc. 2 (⇧) et y faire figurer, en justifiant et sans souci d’échelle :
  • le vecteur F\overrightarrow{F} modélisant la force électrique ;
  • le vecteur champ électrique E\overrightarrow{E} entre les plaques.

Pour écrire sur ces schémas, veuillez cliquer sur les images et utiliser notre outil de dessin.

schéma 1 - Doc. 2 - Exercice 33
schéma 2 - Doc. 2 - Exercice 33

3. Établir l’expression de l’accélération a\overrightarrow{a} du proton entre O\mathrm{O} et O\mathrm{O}^{\prime} en fonction de E\overrightarrow{E}.


4. Montrer que l’abscisse xx du proton sur son trajet OO\mathrm{OO}^{\prime} est donnée par la relation :
x(t)=eU2mpdt2x(t)=\dfrac{e \cdot U}{2 m_{p} \cdot d} \cdot t^{2}



5. En déduire la durée Δt1\Delta t_{1} mise par le proton pour aller de O\mathrm{O} à O\mathrm{O}^{\prime}.


6. Le mouvement du proton entre O\mathrm{O}^{\prime} et A\mathrm{A}^{\prime} est circulaire uniforme (doc. 3 (⇧)). En déduire la relation entre la vitesse vv, le rayon RR et la durée Δt2\Delta t_{2} de ce demi‑tour.

Le rayon RR de la trajectoire d’un proton dans un dé est donné par la relation :
R=mpveBR=\dfrac{m_\mathrm{p} \cdot v}{e \cdot B}




7. Montrer à partir des résultats des questions précédentes que la durée Δt2\Delta t_{2} peut s’exprimer sous la forme Δt2=πmpeB\Delta t_{2}=\dfrac{\pi \cdot m_{p}}{e \cdot B}. En déduire que les demi‑tours suivants ont la même durée.


La variation d’énergie cinétique à chaque passage d’un dé à l’autre est égale au travail WW de la force électrique F\overrightarrow{F}.

8. Évaluer le nombre de tours que doit faire le proton pour qu’il atteigne, à la sortie du cyclotron, une énergie de 16 MeV.
Voir les réponses

Données
  • Masse du proton : mp=1,67×1027m_{p} = 1{,}67 \times 10^{-27} kg
  • Charge électrique du proton : e=1,60×1019e = 1{,}60 \times 10^{-19} C
  • Conversion d’unité : 1  eV=1,60×10191 \; \mathrm{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19} J
  • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9{,}81 N·kg-1
  • Distance entre les plaques D et G : d=2,00d = {2},00 mm

Doc 1
Champ électrique

L’intensité E du champ électrique est donnée par :
E=UdE=\dfrac{U}{d}

EE : intensité du champ électrique (V·m-1)
UU : tension aux bornes des plaques (V)
dd : distance entre les plaques (m)

Doc 2
Cyclotron

schéma 1 - Doc. 2 - Exercice 33
schéma 2 - Doc. 2 - Exercice 33

Le cyclotron est un appareil constitué de deux demi‑cylindres creux appelés dés. Entre les plaques G et D règne un champ électrique E\overrightarrow{E} uniforme perpendiculaire aux plaques.

Doc 3
Dés

Dans le dé D, le proton est soumis à un champ magnétique uniforme d’intensité B=1,6B = 1,6 T et a un mouvement circulaire uniforme jusqu’au point A\mathrm{A}^{\prime}. Le sens du champ électrique E\overrightarrow{E} est alors inversé. Le proton subit alors une nouvelle accélération jusqu’au point A\mathrm{A}.
Le processus d’accélération et de demi‑tours successifs se répète un grand nombre de fois jusqu’à ce que le proton sorte de l’accélérateur pour bombarder la cible après une dizaine de microsecondes.

schéma - Doc. 3 - Exercice 33

Supplément numérique

Découvrez une vidéo sur la tomographie


et une animation sur le modèle de cyclotron.
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