Les perches en fibre de verre, que l'on utilise en saut à la perche, sont très flexibles. Cela leur permet d'emmagasiner de l'énergie lorsqu'elles sont déformées et de la restituer lorsqu'elles reprennent leur forme initiale. L'objectif de cet exercice est d'étudier le mouvement d'un perchiste au cours de son saut.

I. Phase ascendante

La phase ascendante est composée de trois étapes :

étape 1 : la flexion de la perche ;
étape 2 : la déflexion de la perche ;
étape 3 : la « chute libre » ascendante.

Le montre l'évolution des différentes formes d'énergie du perchiste au cours de cette phase.

1. Déterminer la valeur de la vitesse à l'instant t_{1} = 7,1 s.

2. Déterminer la hauteur H du saut et comparer avec la valeur proposée dans les données.

3. Décrire l'évolution de l'énergie mécanique au cours des trois étapes et justifier chacune d'entre elles.

4. Préciser comment évoluerait la performance du perchiste si sa vitesse à l'instant t_{1} était plus élevée.

Doc. 1
Évolutions des énergies

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Énergies mécanique, cinétique et potentielle de pesanteur du perchiste au cours du temps lors de la phase ascendante.

II. Phase descendante

La phase descendante correspond à une chute libre de plusieurs mètres. On admet qu'au début de la phase descendante, le vecteur vitesse \overrightarrow{v}_{0} du perchiste est horizontal et que sa valeur est égale à v_{0} = 1,1 m·s^-1.

1. En appliquant la deuxième loi de Newton dans le repère (\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}), déterminer les composantes du vecteur accélération a du perchiste.

2. Montrer que les équations horaires du mouvement du perchiste s'écrivent :
\left\{\begin{array}{l} x(t)=v_{0} · t \\ y(t)=0 \\ z(t)=-\frac{1}{2} g · t^{2}+H \end{array}\right.

3. Justifier que le mouvement est plan.

4. Déterminer la durée de la phase descendante.

Doc. 2
Schématisation de la phase descendante

Graphique - Schématisation de la phase descendante

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Données

Masse du perchiste : m = 70 kg
Intensité de pesanteur : g = 9,81 N·kg^-1
Hauteur du tapis de réception : h = 0,70 m
Hauteur du saut : H = 5,4 m

Détails du barème TOTAL / 10 pts

1 pt

I. 1.Utiliser la formule de l'énergie cinétique.

1 pt

2. Utiliser la formule de l'énergie potentielle.

1,5 pt

3. Décrire une courbe et interpréter une information.

1 pt

4. Prévoir l'évolution d'une grandeur.

1 pt

II. 1. Utiliser la deuxième loi de Newton.

3 pts

2. Justifier à partir de y(t) = 0

0,5 pt

3. Montrer qu'un mouvement est plan.

1 pt

4. Faire un calcul à partir d'une équation horaire.

➜ Retrouvez plus d'exercices dans le

Livret Bac p. 384

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32
Détermination de la viscosité du glycérol

✔ APP : Faire un schéma
✔ APP : Faire des prévisions à l'aide d'un modèle

Détermination de la viscosité du glycérol

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Le glycérol est un liquide transparent, incolore et visqueux. Du fait de sa non‑toxicité, il est utilisé notamment dans l'industrie pharmaceutique, car il améliore l'onctuosité des médicaments sous forme de sirop.
On souhaite déterminer la viscosité d'un échantillon de glycérol à l'aide d'un viscosimètre à chute de bille.

1. Faire un schéma représentant les différentes forces s'exerçant sur la bille au cours de sa chute.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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2. Exprimer le poids de la bille \overrightarrow{P} en fonction de \rho, V et \overrightarrow{g}.

3. À l'aide de la deuxième loi de Newton, du

(⇧)

et du

(⇧)

, donner une relation vectorielle liant les vecteurs \overrightarrow{a}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{g}.

4. Projeter cette relation sur un axe (\text Oz) vertical dirigé vers le bas.

5. Montrer que la relation précédente peut s'écrire sous la forme :

\frac{\text{d} v}{\text{d} t}=A+B \cdot v

On précisera les expressions littérales de A et B.

6. On a filmé la chute de différentes billes dans le glycérol afin de déterminer l'évolution de leur vitesse en fonction du temps. D'après le

(⇧)

, expliquer pourquoi on peut parler d'une vitesse limite de la bille.

7. Montrer que la vitesse limite v_{\mathrm{lim}} a pour expression :

v_{\mathrm{lim}}=\dfrac{2\left(\rho-\rho_{0}\right) \cdot g \cdot r^{2}}{9 \eta}

8. Exploiter le

(⇧)

afin de déterminer la viscosité \eta du glycérol.

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Doc. 1
Viscosité
La viscosité \eta traduit l'ensemble des phénomènes de résistance au mouvement d'un fluide pour un écoulement avec ou sans turbulence. La viscosité diminue la liberté d'écoulement du fluide et dissipe son énergie. On classe souvent les huiles suivant leur viscosité dynamique.

D'après Wikipedia.org.

Doc. 2
Volume d'une sphère
Le volume V d'une sphère de rayon r est égal à :

V=\frac{4}{3} \pi · r^{3}

Doc. 3
Viscosimètre à chute de bille
Le viscosimètre à chute de bille est un dispositif constitué d'une éprouvette remplie du fluide à étudier, dans lequel chutent des billes de masse m et de rayon r connus. Des capteurs disposés le long de l'éprouvette permettent de déterminer la vitesse de la bille à différents instants de sa chute.

Doc. 4
Poussée d'Archimède La poussée d'Archimède est une force d'expression :

\overrightarrow{\varPi}=-\rho_{\text {fluide }} · V_{i} · \overrightarrow{g}

\overrightarrow{\varPi} : poussée d'Archimède de norme {\varPi} (N)
\rho_{\text {fluide }} : masse volumique du fluide (kg·m^-3)
V_{i} : volume immergé dans le fluide (m³)
\overrightarrow{g} : champ de pesanteur de norme g (N·kg^-1)

Doc. 5
Loi de Stokes Pour une sphère suffisamment loin de tout obstacle ou paroi, la force de frottement fluide \overrightarrow{f} exercée par le fluide sur la sphère est égale à :

\overrightarrow{f}=-6 \pi · \eta · r · \overrightarrow{v}

\overrightarrow{f} : force de frottement fluide de norme f (N)
\pi : viscosité du fluide (Pa·s)
r : rayon de la bille (m)
\overrightarrow{v} : vecteur vitesse de la bille de norme v (m·s^-1)

Doc. 6
Vitesse de la bille

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Courbe représentant la vitesse v d'une bille de diamètre 2 mm en fonction du temps.

Doc. 7
Vitesses limites mesurées

r (mm)	1,50	1,60	1,75	2,00	2,25
v_lim (cm·s^‑1)	5,2	5,9	7,1	9,1	11,5

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33
Tomographie par émission de positons

✔ APP : Extraire l'information utile
✔ REA/MATH : Intégrer

D'après le sujet Bac S, Nouvelle‑Calédonie, 2017.

La tomographie par émission de positons (TEP) est un examen reposant sur la détection de positons. Ils sont émis par le ¹⁸F-FDG, que l'on injecte au patient et qui doit être produit à l'hôpital. Pour cela, on bombarde au moyen d'un cyclotron (

(⇧)

) des noyaux d'oxygène 18 par des protons dont l'énergie cinétique est de 16 MeV. Les protons placés au point \mathrm{O} sont accélérés jusqu'au point \mathrm{O}^{\prime} où ils pénètrent dans le dé D.
À t = 0 s, un proton est introduit dans le cyclotron au point \mathrm{O} sans vitesse initiale. La tension accélératrice U vaut 30 kV. On se place sur l'axe (\mathrm{Ox}) horizontal, centré sur \mathrm{O} et dirigé vers la droite.

1. Montrer que le poids du proton est négligeable devant la force électrique.

2. Compléter le schéma des plaques G et D du

(⇧)

et y faire figurer, en justifiant et sans souci d'échelle :

le vecteur \overrightarrow{F} modélisant la force électrique ;
le vecteur champ électrique \overrightarrow{E} entre les plaques.

Pour écrire sur ces schémas, veuillez cliquer sur les images et utiliser notre outil de dessin.

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Crédits : lelivrescolaire.fr

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3. Établir l'expression de l'accélération \overrightarrow{a} du proton entre \mathrm{O} et \mathrm{O}^{\prime} en fonction de \overrightarrow{E}.

4. Montrer que l'abscisse x du proton sur son trajet \mathrm{OO}^{\prime} est donnée par la relation :

x(t)=\dfrac{e \cdot U}{2 m_{p} \cdot d} \cdot t^{2}

5. En déduire la durée \Delta t_{1} mise par le proton pour aller de \mathrm{O} à \mathrm{O}^{\prime}.

6. Le mouvement du proton entre \mathrm{O}^{\prime} et \mathrm{A}^{\prime} est circulaire uniforme (doc. 3
(⇧)
). En déduire la relation entre la vitesse v, le rayon R et la durée \Delta t_{2} de ce demi‑tour.

Le rayon R de la trajectoire d'un proton dans un dé est donné par la relation :

R=\frac{m_\mathrm{p} \cdot v}{e \cdot B}

7. Montrer à partir des résultats des questions précédentes que la durée \Delta t_{2} peut s'exprimer sous la forme \Delta t_{2}=\frac{\pi \cdot m_{p}}{e \cdot B}. En déduire que les demi‑tours suivants ont la même durée.

La variation d'énergie cinétique à chaque passage d'un dé à l'autre est égale au travail W de la force électrique \overrightarrow{F}.

8. Évaluer le nombre de tours que doit faire le proton pour qu'il atteigne, à la sortie du cyclotron, une énergie de 16 MeV.

Doc. 1
Champ électrique L'intensité E du champ électrique est donnée par :

E=\frac{U}{d}

E : intensité du champ électrique (V·m^-1)
U : tension aux bornes des plaques (V)
d : distance entre les plaques (m)

Doc. 2
Cyclotron

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Le cyclotron est un appareil constitué de deux demi‑cylindres creux appelés dés. Entre les plaques G et D règne un champ électrique \overrightarrow{E} uniforme perpendiculaire aux plaques.

Doc. 3
Dés Dans le dé D, le proton est soumis à un champ magnétique uniforme d'intensité B = 1,6 T et a un mouvement circulaire uniforme jusqu'au point \mathrm{A}^{\prime}. Le sens du champ électrique \overrightarrow{E} est alors inversé. Le proton subit alors une nouvelle accélération jusqu'au point \mathrm{A}.
Le processus d'accélération et de demi‑tours successifs se répète un grand nombre de fois jusqu'à ce que le proton sorte de l'accélérateur pour bombarder la cible après une dizaine de microsecondes.

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Données

Masse du proton : m_{p} = 1{,}67 \times 10^{-27} kg
Charge électrique du proton : e = 1{,}60 \times 10^{-19} C
Conversion d'unité : 1 \; \mathrm{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19} J
Intensité de pesanteur : g = 9{,}81 N·kg^-1
Distance entre les plaques D et G : d = {2},00 mm

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Supplément numérique

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Objectif Bac

31Saut à la perche

I. Phase ascendante

II. Phase descendante

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32Détermination de la viscosité du glycérol

GeoGebra

33Tomographie par émission de positons

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