REA/MATH : Intégrer APP : Faire des prévisions à l'aide d'un modèle
Compétence(s)
Un joueur de rugby réalise une chandelle. Il communique au ballon
une vitesse v0 formant un angle α avec l'horizontale. À t=0 s, le
ballon se trouve à une hauteur h au‑dessus du sol.
Un de ses coéquipiers arrive derrière lui et le dépasse au moment
où il frappe le ballon, afin d'essayer de le récupérer.
1. Faire un schéma représentant la situation.
2. Établir les équations du mouvement du ballon.
3. Calculer la durée écoulée avant que le ballon ne touche le sol.
4. Déterminer alors la distance D à parcourir du coéquipier pour récupérer le ballon. On supposera qu'il le récupère juste avant qu'il ne touche le sol.
Données
Vitesse initiale :v0=8,0 m·s-1
Angle de tir :α=50∘
Intensité de pesanteur :g=9,81 N·kg-1
Hauteur du ballon au moment du tir :h=1,0 m
Doc.
Une chandelle au rugby
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : lelivrescolaire.fr
Solution rédigée
1.
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2. La seule force qui s'exerce sur le ballon est le poids P. D'après la deuxième loi de Newton :
p=m⋅a a=−g⋅j
En intégrant et en tenant compte de la vitesse initiale v0 :
v(v0⋅cos(α)−g⋅t+v0⋅sin(α))(O,i,j)
Par intégration, on a :
{x(t)=v0⋅cos(α)⋅ty(t)=−21g⋅t2+v0⋅sin(α)⋅t+h
3. Le ballon touche le sol pour y(tsol)=0 m. L'équation précédente prend la forme d'une équation du second degré :
−21g⋅tsol2+v0⋅sin(α)⋅tsol+h=0
La seule solution possible physiquement est tsol=1,4 s.
Une équation de la forme
a⋅x2+b⋅x+c=0 admet deux solutions
x1 et x2 si Δ=b2−4a⋅c est positif :
x1=2a−b−Δ et x2=2a−b+Δ
Protocole de réponse
1. Faire figurer h, v0, α sur le schéma.
Choisir un repère tel que son centre soit au
niveau du sol.
2. Écrire la deuxième loi de Newton.
Écrire les coordonnées du champ de
pesanteur, puis celles du vecteur accélération.
En déduire par intégration les coordonnées du
vecteur vitesse. De la même façon, en déduire
les équations horaires.
3. Chercher t tel que y(t)=0 m.
4. Calculer la distance D à parcourir en utilisant
l'expression de x(t).