Exercice corrigé

Un joueur de rugby réalise une chandelle. Il communique au ballon une vitesse $\overrightarrow{v}_{0}$ formant un angle $\alpha$ avec l’horizontale. À $t = 0$ s, le ballon se trouve à une hauteur $h$ au‑dessus du sol.
Un de ses coéquipiers arrive derrière lui et le dépasse au moment où il frappe le ballon, afin d’essayer de le récupérer.

1. Faire un schéma représentant la situation.

2. Établir les équations du mouvement du ballon.

3. Calculer la durée écoulée avant que le ballon ne touche le sol.

4. Déterminer alors la distance $D$ à parcourir du coéquipier pour récupérer le ballon. On supposera qu’il le récupère juste avant qu’il ne touche le sol.

Données

• Vitesse initiale : $v_{0}=8,0$ m·s^-1


• Angle de tir : $\alpha=50^{\circ}$


• Intensité de pesanteur : $g = 9,81$ N·kg^-1


• Hauteur du ballon au moment du tir : $h = 1,0$ m

■ Racines d’une équation du second degré

Une équation de la forme $a \ · x^{2}+b \ · x+c=0$ admet deux solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ si $\Delta=b^{2}-4 a\ · c$ est positif :

$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}$

Protocole de réponse

1. Faire figurer $h$, $\overrightarrow{v}_{0}$, $\alpha$ sur le schéma. Choisir un repère tel que son centre soit au niveau du sol.

2. Écrire la deuxième loi de Newton. Écrire les coordonnées du champ de pesanteur, puis celles du vecteur accélération. En déduire par intégration les coordonnées du vecteur vitesse. De la même façon, en déduire les équations horaires.

3. Chercher $t$ tel que $y(t) = 0$ m.

4. Calculer la distance $D$ à parcourir en utilisant l’expression de $x(t)$.

1.

2. La seule force qui s’exerce sur le ballon est le poids $\overrightarrow P$. D’après la deuxième loi de Newton :

$\overrightarrow{p}=m\ · \overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{a}=-g\ · \overrightarrow{j}$

En intégrant et en tenant compte de la vitesse initiale $\overrightarrow{v}_{0}$ :

$\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} v_{0}\ · \cos (\alpha) \\ -g\ · t+v_{0}\ · \sin (\alpha) \end{array}\right)_{(\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})}$
Par intégration, on a :
$\left\{\begin{array}{l} x(t)=v_{0}\ · \cos (\alpha) · t \\ y(t)=-\dfrac{1}{2} g\ · t^{2}+v_{0}\ · \sin (\alpha) · t+h \end{array}\right.$

3. Le ballon touche le sol pour $y\left(t_{\mathrm{sol}}\right)=0$ m. L’équation précédente prend la forme d’une équation du second degré :
$-\dfrac{1}{2} g\ · t_{\mathrm{sol}}^{2}+v_{0}\ · \sin (\alpha)\ · t_{\mathrm{sol}}+h=0$
La seule solution possible physiquement est $t_{\mathrm{sol}} = 1{,}4$ s.

4.
$\begin{aligned} D &=x\left(t_{\text {sol }}\right) \\ D &=v_{0} \cdot \cos (\alpha) \cdot t_{\text {sol }} \\ \mathrm{A N}: D &=8{,}0 \times \cos (50) \times 1{,}4=7{,}2 \;\mathrm{m} \end{aligned}$

Mise en application

Découvrez l'exercice 30, Angry Birds pour travailler cette notion.