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Chandelle au rugby
P.333

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Exercice corrigé




Chandelle au rugby

REA/MATH : Intégrer
APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

Énoncé


Un joueur de rugby réalise une chandelle. Il communique au ballon une vitesse v0\overrightarrow{v}_{0} formant un angle α\alpha avec l’horizontale. À t=0t = 0 s, le ballon se trouve à une hauteur hh au‑dessus du sol.
Un de ses coéquipiers arrive derrière lui et le dépasse au moment où il frappe le ballon, afin d’essayer de le récupérer.

1. Faire un schéma représentant la situation.

2. Établir les équations du mouvement du ballon.

3. Calculer la durée écoulée avant que le ballon ne touche le sol.

4. Déterminer alors la distance DD à parcourir du coéquipier pour récupérer le ballon. On supposera qu’il le récupère juste avant qu’il ne touche le sol.

Données

  • Vitesse initiale : v0=8,0v_{0}=8,0 m·s-1

  • Angle de tir : α=50\alpha=50^{\circ}

  • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9,81 N·kg-1

  • Hauteur du ballon au moment du tir : h=1,0h = 1,0 m

Une chandelle au rugby.

Une chandelle au rugby.

Racines d’une équation du second degré

Une équation de la forme a x2+b x+c=0a \ · x^{2}+b \ · x+c=0 admet deux solutions x1x_{1} et x2x_{2} si Δ=b24a c\Delta=b^{2}-4 a\ · c est positif :

x1=bΔ2ax_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x2=b+Δ2ax_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}

Protocole de réponse

1. Faire figurer hh, v0\overrightarrow{v}_{0}, α\alpha sur le schéma. Choisir un repère tel que son centre soit au niveau du sol.

2. Écrire la deuxième loi de Newton. Écrire les coordonnées du champ de pesanteur, puis celles du vecteur accélération. En déduire par intégration les coordonnées du vecteur vitesse. De la même façon, en déduire les équations horaires.

3. Chercher tt tel que y(t)=0y(t) = 0 m.

4. Calculer la distance DD à parcourir en utilisant l’expression de x(t)x(t).

Solution rédigée

1.
Schéma chandelle au rugby


2. La seule force qui s’exerce sur le ballon est le poids P\overrightarrow P. D’après la deuxième loi de Newton :
    p=m a\overrightarrow{p}=m\ · \overrightarrow{a}
    a=g j\overrightarrow{a}=-g\ · \overrightarrow{j}

En intégrant et en tenant compte de la vitesse initiale v0\overrightarrow{v}_{0} :

v(v0 cos(α)g t+v0 sin(α))(O,i,j)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} v_{0}\ · \cos (\alpha) \\ -g\ · t+v_{0}\ · \sin (\alpha) \end{array}\right)_{(\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})}

Par intégration, on a :
{x(t)=v0 cos(α)ty(t)=12g t2+v0 sin(α)t+h\left\{\begin{array}{l} x(t)=v_{0}\ · \cos (\alpha) · t \\ y(t)=-\dfrac{1}{2} g\ · t^{2}+v_{0}\ · \sin (\alpha) · t+h \end{array}\right.

3. Le ballon touche le sol pour y(tsol)=0y\left(t_{\mathrm{sol}}\right)=0 m. L’équation précédente prend la forme d’une équation du second degré :
12g tsol2+v0 sin(α) tsol+h=0-\dfrac{1}{2} g\ · t_{\mathrm{sol}}^{2}+v_{0}\ · \sin (\alpha)\ · t_{\mathrm{sol}}+h=0

La seule solution possible physiquement est tsol=1,4t_{\mathrm{sol}} = 1{,}4 s.

4.
D=x(tsol )D=v0cos(α)tsol AN:D=8,0×cos(50)×1,4=7,2  m\begin{aligned} D &=x\left(t_{\text {sol }}\right) \\ D &=v_{0} \cdot \cos (\alpha) \cdot t_{\text {sol }} \\ \mathrm{A N}: D &=8{,}0 \times \cos (50) \times 1{,}4=7{,}2 \;\mathrm{m} \end{aligned}
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Mise en application

Découvrez l'exercice 30, Angry Birds pour travailler cette notion.
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